Question

【題目】如圖，已知二次函數（a≠0）的圖像與x軸交于點A（-2,0）、B，與y軸交于點C，tan∠ABC=2．

（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；

（2）設直線CD交x軸于點E，過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸向上平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究：拋物線最多可以向上平移多少個單位長度？

（3）在線段OB的垂直平分線上是否存在點P，使得經過點P的直線PM垂直于直線CD，且與直線OP的夾角為75°？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】(1) y=-(x-1)+9,(1,9);(2) 72個單位;(3)見解析.

【解析】（1）易知點C的坐標，那么在Rt△BOC中，根據tan∠ABC的值即可得到點B的坐標．然后利用待定系數法求出拋物線的解析式，通過對解析式進行配方能得到頂點D的坐標；

（2）首先確定直線CD的解析式以及點E的坐標，易得出△EOC是等腰直角三角形的結論，那么在四邊形ENPM（以解答圖為參考）中，根據四邊形內角和可以求出∠OPN的度數，那么PN的長就可以在Rt△OPN中求出，以此求得點P的坐標；

（3）若拋物線向上平移，首先表示出平移后的函數解析式；當x=-8時（與點E橫坐標相同），求出新函數的函數值，若拋物線與線段EF有公共點，那么該函數值應不大于點E的縱坐標．當x=4時（與點F的橫坐標相同），方法同上，結合上述兩種情況，即可得到函數圖象的最大平移單位．

（1）由拋物線的解析式知，點C（0，8），即 OC=8；

Rt△OBC中，OB=OCtan∠ABC=8×=4，則 點B（4，0）．

將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，得：

，解得，

∴拋物線的解析式：y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9，頂點D（1，9）；

（2）設直線CD的解析式為：y=kx+8，

將點D坐標(1,9)代入上式，得：k=1；

∴直線CD：y=x+8，點E（-8，0），F（4，12）．

設拋物線向上平移m個單位長度（m＞0），則拋物線的解析式為：y=-（x-1）2+9+m；

當x=-8時，y=m-72，

當x=4時，y=m，

∴m-72≤0 或 m≤12，

∴0＜m≤72，

∴拋物線最多向上平移72個單位．

(3)存在符合條件的P點, 點E（-8，0）．

∴OC=OE=8，∠CEB=45°．

在四邊形EMPN中（如圖），∠MPN=180°-∠CEB=135°（∠PME、∠PNO都是直角），

①當∠OPM=75°時，∠OPN=135°-75°=60°；

在Rt△OPN中，ON=OB=2，PN=；

②當∠OPQ=75°時，∠OPN=135°+75°-180°=30°，

在Rt△OPN中，ON=OB=2，PN=2；

綜上，存在符合條件的P點，且坐標為 （2，）或（2，2）.