Question

已知銳角△ABC的頂點A到垂心H的距離等于它的外接圓的半徑，則∠A的度數是

1. A.
   30°
2. B.
   45°
3. C.
   60°
4. D.
   75°

Answer 1

C
分析：設△ABC的外心為O，D為BC的中點，BO的延長線交⊙O于點E，連CE，AE．因為銳角△ABC的垂心在三角形內部，設H為三角形的垂心．得到平行四邊形AHCE，根據已知條件和三角形的中位線定理，得OB=AH=CE=2OD，根據直角三角形的邊角關系求得∠BOD=60°，進一步根據圓周角定理求解．
解答：解：如圖，設△ABC的外心為O，D為BC的中點，BO的延長線交⊙O于點E，連CE，AE．
銳角△ABC的垂心在三角形內部，
設H為三角形的垂心，則CE∥AH，AE∥CH．
則OB=AH=CE=2OD，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠A=∠BOD=60°．
故選C．
點評：此題考查了平行四邊形的判定和性質、三角形的中位線定理、圓周角定理以及垂心、外心的概念，三角形的垂心即為三角形的三條高的交點，三角形的外心即為三角形的垂直平分線的交點．