Question

直線y=和x軸，y軸分別交于點E，F，點A是線段EF上一動點（不與點E重合），過點A作x軸垂線，垂足是點B，以AB為邊向右作矩形ABCD，AB：BC=3：4。
（1）當點A與點F重合時，求證：四邊形ADBE是平行四邊形，并求直線DE的表達式；
（2）當點A不與點F重合時，四邊形ADBE仍然是平行四邊形？說明理由，此時你還能求出直線DE的表達式嗎？若能，請你求出來。

Answer 1

（1）證明見解析；直線DE解析式為y=x+3；（2）理由見解析，直線DE解析式為y=x+3．

解析試題分析：對于直線y=x+6，分別令x與y為0求出y與x的值，確定出E與F坐標，
（1）當A與F重合時，根據F坐標確定出A坐標，進而確定出AB的長，由AB與BC的比值求出BC的長，確定出AD=BE，而AD與BE平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到四邊形AEBD為平行四邊形；根據AB與BC的長確定出D坐標，設直線DE解析式為y=kx+b，將D與E坐標代入求出k與b的值，即可確定出直線DE解析式；
（2）當點A不與點F重合時，四邊形ADBE仍然是平行四邊形，理由為：根據直線y=x+6解析式設出A坐標，進而表示出AB的長，根據A與B橫坐標相同確定出B坐標，進而表示出EB的長，發現EB=AD，而EB與AD平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到四邊形AEBD為平行四邊形；根據BC的長求出OC的長，表示出D坐標，設直線DE解析式為y=k₁x+b₁，將D與E坐標代入求出k₁與b₁的值，即可確定出直線DE解析式．
試題解析：對于直線y=x+6，
令x=0，得到y=6；令y=0，得到x=﹣8，即E（﹣8，0），F（0，6），
（1）當點A與點F重合時，A（0，6），即AB=6，
∵AB：BC=3：4，
∴BC=8，
∴AD=BE=8，
又∵AD∥BE，
∴四邊形ADBE是平行四邊形；
∴D（8，6），
設直線DE解析式為y=kx+b（k、b為常數且k≠0），
將D（8，6），E（﹣8，0）代入得：，
解得：b=3，k=．
則直線DE解析式為y=x+3；
（2）四邊形ADBE仍然是平行四邊形，理由為：
設點A（m，m+6）即AB=m+6，OB=﹣m，即B（m，0），
∴BE=m+8，
又∵AB：BC=3：4，
∴BC=m+8，
∴AD=m+8，
∴BE=AD，
又∵BE∥AD，
∴四邊形ADBE仍然是平行四邊形；
又∵BC=m+8，
∴OC=2m+8，
∴D（2m+8，m+6），
設直線DE解析式為y=k₁x+b₁（k₁、b₁為常數且k₁≠0），
將D與E坐標代入得：，
解得：k₁=，b₁=3，
則直線DE解析式為y=x+3．
考點：一次函數綜合題．