Question

【題目】我們定義：在一個圖形上畫一條直線，若這條直線既平分該圖形的面積，又平分該圖形的周長，我們稱這條直線為這個圖形的“等分積周線”．

（1）如圖1，在△ABC中，AB=BC，且BC≠AC，請你在圖1中用尺規(guī)作圖作出△ABC的一條“等分積周線”；

（2）在圖1中，過點(diǎn)C能否畫出一條“等分積周線”？若能，說出確定的方法；若不能，請說明理由．

（3）如圖3，在△ABC中，AB=BC=6cm，AC=8cm，請你不過△ABC的頂點(diǎn)，畫出△ABC的一條“等分積周線”，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；

（2）不能，理由見解析；

（3）作圖見解析，理由見解析.

【解析】（1）作線段AC的中垂線BD即可得出答案；（2）若直線CD平分△ABC的面積，那么S△ADC=S△DBC，得出AC≠BC，進(jìn)而得出答案；（3）在AC上取一點(diǎn)F，使得FC=AB=6，在BC上取一點(diǎn)E，使得BE=2，作直線EF，則EF是△ABC的等分積周線，結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案．

解：

（1）如圖1所示：作線段AC的中垂線BD或∠B的平分線即可；

（2）不能，理由：如圖2，若直線CD平分△ABC的面積，那么S△ADC=S△DBC，

∴AD=BD，

∵AC≠BC，

∴AD+AC≠BD+BC，

∴過點(diǎn)C不能畫出一條“等分積周線”

（3）如圖4，在AC上取一點(diǎn)F，使得FC=AB=6，在BC上取一點(diǎn)E，使得BE=2，

作直線EF，則EF是△ABC的等分積周線，

理由：由作圖可得：AF=AC-FC=8-6=2，在CB上取一點(diǎn)G，使得CG=AF=2，則有AB+AF=CF+CG，

∵AB=BC，

∴∠A=∠C，

在△ABF和△CFG中

∴△ABF≌△CFG（SAS），

∴S△ABF=S△CFG，

又易得BE=EG=2，

∴S△BFE=S△EFG，

∴S△EFC=S四邊形ABEF，

AF+AB+BE=CE+CF=10，

∴EF是△ABC的等分積周線，

若如圖5，當(dāng)BM=2cm，AN=6cm時，直線MN也是△ABC的等分積周線．（其實(shí)是同一條），

另外本問的說理也可以通過作高，進(jìn)行相關(guān)計算說明）．

“點(diǎn)睛”此題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖和全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，根據(jù)題意正確分割圖形是解題關(guān)鍵．