Question

如圖，等邊△ABC中，點E、F分別是AB、AC的中點，P為BC上一點，連接EP，作等邊△EPQ，連接FQ、EF。

（1）若等邊的邊長為20，且，求等邊的邊長；
（2）求證：。

Answer 1

（1）；（2）證明見解析.

試題分析：(1)在△BEP中，由條件可知∠B=60°，∠BPE=45°，BE=10，過點E作EM⊥BC于M，通過解直角三角形即可求出EP的長；
（2）取BC邊中點N，可證明△ENP≌△EFQ，故NP=FQ.在△ABC中易證△EBN為等邊三角形，從而可證BP=EF+FQ.
試題解析：（1）過點E作EM⊥BC于M，

∵等邊△ABC
∴∠B=60°
∵E為AB的中點，
∴BE=AB=10
在Rt△BEM中，
∴
∴
在Rt△EMP中，
∴
∴，即等邊△EPQ的邊長為
（2）證明：取BC的中點N，連接NE

∵等邊△ABC
∴AB=BC
∵E為AB的中點，F為AC的中點，N為BC的中點
∴EF=BC，BE=AB，BN=BC，EF∥BC
∴EF=BE=BN
∵∠B=60°
∴△EBN是等邊三角形
∴EN=BN=EF ∠ENB=60°
∵EF∥BC
∴∠FEN=60°
∴∠1+∠2=60°
∵等邊△EPQ
∴EP="EQ," ∠PEQ=60°
∴∠2+∠3=60°
∴∠1=∠3
在△ENP和△EFQ中

∴△ENP≌△EFQ
∴NP=FQ
∴BP=BN+NP=EF+FQ
考點:1.解直角三角形；2.等邊三角形的判定與性質.