Question

在圖形的全等變換中，有旋轉變換，翻折（軸對稱）變換和平移變換．一次數學活動課上，老師組織大家利用矩形進行圖形變換的探究活動．
（1）第一小組的同學發現，在如圖1-1的矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，Rt△ADC可以由Rt△ABC經過一種變換得到，請你寫出這種變換的過程______．

（2）第二小組同學將矩形紙片ABCD按如下順序進行操作：對折、展平，得折痕EF（如圖2-1）；再沿GC折疊，使點B落在EF上的點B′處（如圖2-2），這樣能得到∠B′GC的大小，你知道∠B′GC的大小是多少嗎？請寫出求解過程．
（3）第三小組的同學，在一個矩形紙片上按照圖3-1的方式剪下△ABC，其中BA=BC，將△ABC沿著直線AC的方向依次進行平移變換，每次均移動AC的長度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如圖3-2．已知AH=AI，AC長為a，現以AD、AF和AH為三邊構成一個新三角形，已知這個新三角形面積小于15，請你幫助該小組求出a可能的最大整數值．

（4）探究活動結束后，老師給大家留下了一道探究題：
如圖4-1，已知AA′=BB′=CC′=2，∠AOB′=∠BOC′=∠COA′=60°，請利用圖形變換探究S_△AOB′+S_△BOC′+S_△COA′與的大小關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形是中心對稱圖形，可以將Rt△ABC旋轉180°得到Rt△ADC而得出結論；
（2）連接BB'，由題意得EF垂直平分BC，就有BB'=B'C，由翻折可得B'C=BC，從而△BB'C為等邊三角形．就可以求出∠B'CB=60°；
（3）分別取CE、EG、GI的中點P、Q、R，連接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，由BA=BC，根據平移變換的性質，就有△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，就有DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI，由勾股定理就可以求出HR²=a²，從而得出新三角形三邊的值，從而得出結論；
（4）將△BOC'沿BB'方向平移2個單位，所移成的三角形記為△B'PR，將△COA'沿A'A方向平移2個單位，所移成的三角形記為△AQR．由條件可以得出△AQR為等邊三角形，由等邊三角形的性質就可以求出△AQR的面積為，從而就可以得出結論．
解答：解：（1）將△ABC繞點O旋轉180°后可得到△ADC；
故答案為：將△ABC繞點O旋轉180°后可得到△ADC．
（2）如圖2-2-1，連接BB'，由題意得EF垂直平分BC，
∴BB'=B'C，由翻折可得，
∴B'C=BC，
∴△BB'C為等邊三角形．
∴∠B'CB=60°，
∴∠B'CG=30°，
∵∠GB′C=90°，
∴∠B'GC=60°；
（3）如圖3-1-1，分別取CE、EG、GI的中點P、Q、R，連接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，
∵BA=BC，根據平移變換的性質，
∴△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，
∴DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI，GR=EQ=CP=0.5a，DP=FQ=HR．
∵AC=a，
∴AI=4a．
∵AH=AI，
∴AH=4a，AR=3.5a．
∴AH²=16a²．
在Rt△AHR中，AH²=HR²+AR²，
16a²=HR²+a²，
HR²=a²，
∴DP²=FQ²=HR²=a²，
在Rt△ADP和Rt△AFQ中，由勾股定理，得
AD²=AP²+DP²=6a²，AF²=AQ²+FQ²=10a²，
∴AH²=AD²+AF²，
∴新三角形為直角三角形，
∴新三角形三邊長為4a、a、a．
其面積為：a×a=a²．
∵a²＜15，
∴a²＜15
∴a的最大整數值為3．
（4）如圖4-1-1，將△BOC'沿BB'方向平移2個單位，所移成的三角形記為△B'PR，
將△COA'沿A'A方向平移2個單位，所移成的三角形記為△AQS．連接PQ，
∵QR+PR=OC+OC'，
∴Q、R、P三點共線．
∵OQ=OA+AQ=OA+OA'=AA'=2，OP=OB'+B'P=OB'+OB=BB'=2．且∠QOP=60°，
∴△OPQ為等邊三角形．
∴PQ=OQ=OP=2．
∵RP=OC′，QS=OC，
∴RP+QS=OC′+OC=CC′=2=PQ，
∴R、S重合．
∴S_△QOP=，
∵S_△AOB+S_△BOC+S_△COA=S_△AOB+S_△B'PR+S_△PQA＜S_△OPQ，
∴S_△AOB+S_△BOC+S_△COA＜．
點評：本題考查了旋轉變換的運用，翻折變換的運用，平移變換的運用，等邊三角形的性質的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的性質的運用，三角形的面積公式的運用．本題的綜合性較強要求學生熟練的運用圖形變換解題是關鍵．