Question

在圖形的全等變換中，有旋轉變換，翻折（軸對稱）變換和平移變換．一次數學活動課上，老師組織大家利用矩形進行圖形變換的探究活動．

（1）第一小組的同學發現，在如圖1－1的矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，Rt△ADC可以由Rt△ABC經過一種變換得到，請你寫出這種變換的過程  ▲  ．

（2）第二小組同學將矩形紙片ABCD按如下順序進行操作：對折、展平，得折痕EF（如圖2－1）；再沿GC折疊，使點B落在EF上的點B'處（如圖2－2），這樣能得到∠B'GC的大小，你知道∠B'GC的大小是多少嗎？請寫出求解過程．

（3）第三小組的同學，在一個矩形紙片上按照圖3－1的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，將△ABC沿著直線AC的方向依次進行平移變換，每次均移動AC的長度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如圖3－2．已知AH＝AI，判斷以AD、AF和AH為三邊能否構成三角形？若能構成，請判斷這個三角形的形狀，若不能構成，請說明理由．

（4）探究活動結束后，老師給大家留下了一道探究題:如圖4－1，已知AA'＝BB'＝CC'＝4，∠AOB'＝∠BOC'＝∠COA'＝60°，請利用圖形變換探究S_△AOB'＋S_△BOC'＋S_△COA'與的大小關系．

 

Answer 1

【答案】

（1）將△ABC繞點O旋轉180°（2）60°，理由見解析（3）能夠構成三角形，理由見解析（4）S_△AOB'＋S_△B'PR＋S_△PQA＜

【解析】解：（1）將△ABC繞點O旋轉180°后可得到△ADC …………………………2分

（缺旋轉中心或旋轉角各扣1分）

（2）連接BB'，由題意得EF垂直平分BC，故BB'＝B'C，由翻折可得，

B'C＝BC，∴△BB'C為等邊三角形．∴∠B'CB＝60°，

（或由三角函數FC：B'C＝1：2求出∠B'CB＝60°也可以．）

∴∠B'CG＝30°，∴∠B'GC＝60°………………………………………5分

（3）能夠構成三角形……………………………………………………………6分

分別取CE、EG、GI的中點P、Q、R，連接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，∵△ABC中，BA＝BC，根據平移變換的性質，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，∴DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI．

在Rt△AHR中，AH＝AI＝4a，AH²＝HR²＋AR²，HR²＝a²，

則DP²＝FQ²＝HR²＝a²，

AD²＝AP²＋DP²＝6a²，AF²＝AQ²＋FQ²＝10a²，

新三角形三邊長為4a、a、a．

∵AH²＝AD²＋AF²    ∴新三角形為直角三角形．………………………8分

（或通過轉換得新三角形三邊就是AD、DI、AI）

（4）將△BOC'沿BB'方向平移2個單位，所移成的三角形記為△B'PR，將△COA'沿A'A方向平移2個單位，所移成的三角形記為△AQR．由于OQ＝OA＋AQ＝OA＋OA'＝AA'＝4，OP＝OB'＋B'P＝OB'＋OB＝BB'＝4．又∠QOP＝60°，則PQ＝OQ＝OP＝4，

又因為QR＋PR＝OC＋OC'，故O、R、P三點共線．因為S_△QOP＝4，所以S_△AOB'＋S_△BOC'＋S_△COA'＝S_△AOB'＋S_△B'PR＋S_△PQA＜…………………… …………10分

根據旋轉的性質和平移變換的性質求解