Question

在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點．

（1）如圖(1)，若AC平分，=90°, 則線段AE、AB、DE的長度滿足的數量關系為

                        ；（直接寫出答案）

（2）如圖（2），AC平分， EC平分，

若，則線段AB、BD、DE、AE的長度滿足怎樣的數量關系？寫出結論并證明；

（3）如圖（3），BD = 8，AB=2，DE=8，，則線段AE長度的最大值是____________（直接寫出答案）．

Answer 1

（1） AE=AB+DE ；

（2）解：猜想：AE=AB+DE+．

證明：在AE上取點F，使AF=AB，連結CF，

在AE上取點G，使EG=ED，連結CG．

∵C是BD邊的中點，∴CB=CD=．

∵AC平分，∴∠BAC=∠FAC．

∵AF=AB，AC=AC，∴△ABC≌△AFC.

∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．同理可證：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．

∵CB=CD，∴CG=CF

∵，∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．                   圖（2）

∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．

∴△FGC是等邊三角形．∴FG=FC=．

∵AE=AF+EG+FG．

∴AE=AB+DE+．（3）．