Question

解答題：如圖，⊙P與x軸相切于坐標(biāo)原點O，⊙P與y軸交于點A（0，2），點B的坐標(biāo)為（-2

2

，0），連接BP交⊙P于點C
（1）求線段BC的長；
（2）求直線AC的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）由圓P與x軸切于坐標(biāo)原點，且與y軸交于A點，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AO垂直于x軸，且AO為直徑，得到AO的長，由AO的長求出半徑OP的長，再由PC為圓的半徑，得出PC的長，同時由B的坐標(biāo)得出OB的長，在三角形BOP中，由OP及OB的長，利用勾股定理求出BP的長，由BP-CP即可求出BC的長；
（2）過C作CH垂直于x軸，由AO也垂直于x軸，得到CH與AO平行，由平行得比例，列出比例式，將BO，PO，BC，BP的長代入，求出CH及BH的長，由OB-BH求出OH的長，根據(jù)CH及OH的長，得出C的坐標(biāo)，由直線AC與y軸的交點A的坐標(biāo)設(shè)出直線AC的方程為y=kx+2，k不為0，將C的坐標(biāo)代入確定出k的值，即可確定出直線AC的解析式．

解答：解：（1）∵⊙P與x軸切于坐標(biāo)原點O，且交y軸于點A（0，2），
∴AO⊥x軸于O，OA是直徑且OA=2，
∴OP=1，
又∵BP交⊙P于C，∴CP=1，
∵B（-2

2

，0），∴OB=2

2

，
Rt△BOP中，根據(jù)勾股定理得：BP=

(2 2 )2+12

=3，
則BC=BP-CP=2；   
 
（2）過C作CH⊥BO于H，

∵AO⊥x軸，
∴CH∥PO，
∴

CH

PO

=

BC

BP

=

BH

BO

，
又∵PO=1，BC=2，BP=3，OB=2

2

，
∴CH=

PO•BC

BP

=

2

3

，BH=

CH•BO

PO

=

4

3

2

，
∴HO=OB-BH=

2

3

2

，
∴C（-

2

3

2

，

2

3

），
根據(jù)直線AC交y軸于點A（0，2），設(shè)直線AC的解析式為y=kx+2（k≠0），
將C的坐標(biāo)代入得：-

2

3

2

k+2=

2

3

，
∴k=

2

，
∴直線AC的解析式為y=

2

x+2．

點評：此題屬于一次函數(shù)的綜合題，涉及的知識有：勾股定理，平行線的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，以及切線的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，要求學(xué)生掌握知識要全面．