Question

解答題：如圖，⊙P與x軸相切于坐標原點O，⊙P與y軸交于點A（0，2），點B的坐標為（，0），連接BP交⊙P于點C
（1）求線段BC的長；
（2）求直線AC的函數解析式．

Answer 1

解：（1）∵⊙P與x軸切于坐標原點O，且交y軸于點A（0，2），
∴AO⊥x軸于O，OA是直徑且OA=2，
∴OP=1，
又∵BP交⊙P于C，∴CP=1，
∵B（-2，0），∴OB=2，
Rt△BOP中，根據勾股定理得：BP==3，
則BC=BP-CP=2；

（2）過C作CH⊥BO于H，

∵AO⊥x軸，
∴CH∥PO，
∴==，
又∵PO=1，BC=2，BP=3，OB=2，
∴CH==，BH==，
∴HO=OB-BH=，
∴C（-，），
根據直線AC交y軸于點A（0，2），設直線AC的解析式為y=kx+2（k≠0），
將C的坐標代入得：-k+2=，
∴k=，
∴直線AC的解析式為y=x+2．
分析：（1）由圓P與x軸切于坐標原點，且與y軸交于A點，根據切線的性質得到AO垂直于x軸，且AO為直徑，得到AO的長，由AO的長求出半徑OP的長，再由PC為圓的半徑，得出PC的長，同時由B的坐標得出OB的長，在三角形BOP中，由OP及OB的長，利用勾股定理求出BP的長，由BP-CP即可求出BC的長；
（2）過C作CH垂直于x軸，由AO也垂直于x軸，得到CH與AO平行，由平行得比例，列出比例式，將BO，PO，BC，BP的長代入，求出CH及BH的長，由OB-BH求出OH的長，根據CH及OH的長，得出C的坐標，由直線AC與y軸的交點A的坐標設出直線AC的方程為y=kx+2，k不為0，將C的坐標代入確定出k的值，即可確定出直線AC的解析式．
點評：此題屬于一次函數的綜合題，涉及的知識有：勾股定理，平行線的性質，利用待定系數法求一次函數的解析式，以及切線的性質，利用了數形結合及轉化的數學思想，要求學生掌握知識要全面．