Question

【題目】問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度數．

小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質，可得∠APC＝50°＋60°＝110°.

問題遷移：

(1)如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β.∠CPD、∠α、∠β之間有何數量關系？請說明理由；

(2)在(1)的條件下，如果點P在A、M兩點之間和B、O兩點之間上運動時(點P與點A、B、O三點不重合)，請你分別直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數量關系．

,圖1)　,圖2)

,圖3)　,備用圖)

Answer 1

【答案】（1）∠CPD＝∠α＋∠β；（2）當點P在A、M兩點之間時，∠CPD＝∠β－∠α.

【解析】

（1）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（2）分兩種情況：①點P在A、M兩點之間，②點P在B、O兩點之間，分別畫出圖形，根據平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出結論．

解：(1)∠CPD＝∠α＋∠β，理由如下：

如圖，過P作PE∥AD交CD于E.

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝∠α＋∠β.

(2)當點P在A、M兩點之間時，∠CPD＝∠β－∠α.

理由：如圖，過P作PE∥AD交CD于E.

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠CPE－∠DPE＝∠β－∠α；

當點P在B、O兩點之間時，∠CPD＝∠α－∠β.

理由：如圖，過P作PE∥AD交CD于E.

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE－∠CPE＝∠α－∠β.