Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為6，E、F分別是邊CD、AD上動點，AE和BF交于點G．

（1）如圖（1），若E為邊CD的中點，AF=2FD，求AG的長．

（2）如圖（2），若點F在AD上從A向D運動，點E在DC上從D向C運動，兩點同時出發，同時到達各自終點，求在運動過程中，點G運動的路徑長．

（3）如圖（3），若E、F分別是邊CD、AD上的中點，BD與AE交于點H，求∠FBD的正切值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據正方形的邊長為6，易知DE = CE = 3；由已知AF=2FD可得AF = 4；從而用AAS證明△ADE≌△MCE（AAS），進而求出AD = MC = 6；通過證明△AGF∽△MBG，再通過相似三角形的性質得，運用勾股定理計算出AM=,最后得出AG；

（2）動點問題，通過證明△ABF≌△DAE(HL)，進而得出AFG =∠AED，∠DAE =∠ABF等量關系，易推論出∠AFG+∠DAE=90° ，以證明∠AGB=90°,從而推出G點運動的實質是在以O為圓心，OA為半徑的圓上運動了圓周，運用扇形的弧長公式計算即可得G運動路徑的長度；

（3）通過做輔助線過點F作FN⊥BD于點D，構建出Rt△BNF和Rt△DNF，再根據已知條件E、F分別是邊CD、AD上的中點，解直角三角形分別求出直角邊NF = ND，BN=BD-DN,最后把所求數據代入求解即可.

解：（1）延長AE交BC延長線于M,

在正方形ABCD中，∠DAE =∠M

∵E為DC的中點，AF=2FD,正方形邊長為6

∴DE = CE = 3，AF = 4

在△ADE和△MCE中

∴△ADE≌△MCE（AAS）

∴AD = MC = 6

在△AGF和△MBG中

∴△AGF∽△MBG

∴

AM=

∴AG.

（2）設AB的中點為點O，則OA =AB = 3，

由題意知：AF=DE，AB=AD

∴△ABF≌△DAE(HL)

∴∠AFG =∠AED，∠DAE =∠ABF

∵∠AFG +∠ABF=90°，∠DAE +∠AED=90°

∴∠AFG+∠DAE=90°

∴∠AGB=90°

∴點G 在以O為圓心，OA為半徑的圓上運動了圓周

∴點G運動的路徑長 = π = π；

（3）過點F作FN⊥BD于點D，據題意知∠FDN=45°，BD =

∵E、F分別是邊CD、AD上的中點

∴DF = ×6 = 3

∴在Rt△DNF中,FN = DN = sin45°DF

∴BN = BD–DN =

∴