Question

【題目】三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，它的三個角都是60°．△ABC是等邊三角形，點D在BC所在直線上運動，連接AD，在AD所在直線的右側作∠DAE=60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分線所在直線于點E．

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，請你猜想AD與AE的大小關系，并給出證明；
（2）如圖2，當點D在線段BC的反向延長線上時，依據題意補全圖形，請問上述結論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AD=AE．理由見解析；（2）成立，理由見解析；

【解析】

（1）在AB上取一點M，使BM=BD，連接MD．則△BDM是等邊三角形，則易證AM=DC，根據ASA即可證得△AMD≌△DCE（ASA），根據全等三角形的對應邊相等，即可證得；
（2）延長BA到M，使AM=CD，與（1）相同，可證△BDM是等邊三角形，然后證明△AMD≌△DCE（ASA），根據全等三角形的對應邊相等，即可證得．

（1）結論：AD=AE．
理由：如圖，在AB上取一點M，使BM=BD，連接MD．

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，BA=BC．
∴△BMD是等邊三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．
∵CE是外角∠ACF的平分線，
∴∠ECA=60°，∠DCE=120°．
∴∠AMD=∠DCE．
∵∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B
∴∠1=∠2．
又∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．
在△AMD和△DCE中，
，
∴△AMD≌△DCE（ASA）．
∴AD=DE．
（2）正確．
證明：延長BA到M，使AM=CD，

與（1）相同，可證△BDM是等邊三角形，
∵∠CDE=∠ADB+∠ADE=∠ADB+60°，
∠MAD=∠B+∠ADB=∠ADB+60°，
∴∠CDE=∠MAD，
同理可證，△AMD≌△DCE，
∴AD=DE．