Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c的頂點為P，與y軸交于點A，與直線OP交于點B．
（1）如圖1，若點P的橫坐標為1，點B的坐標為（3，6），試確定拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，若點M是直線AB下方拋物線上的一點，且S△ABM=3，求點M的坐標；
（3）如圖2，若點P在第一象限，且PA=PO，過點P作PD⊥x軸于點D．將拋物線y=x2+bx+c平移，平移后的拋物線經過點A、D，該拋物線與x軸的另一個交點為C，請探究四邊形OABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意， ，

解得b=﹣2．

將b=﹣2及點B（3，6）的坐標代入拋物線解析式y=x2+bx+c得6=32﹣2×3+c．

解得 c=3．

所以拋物線的解析式為y=x2﹣2x+3．

（2）

解：∵拋物線y=x2﹣2x+3與y軸交于點A，

∴A（0，3）．

∵B（3，6），

可得直線AB的解析式為y=x+3．

設直線AB下方拋物線上的點M坐標為（x，x2﹣2x+3），過M點作y軸的平行線交直線AB于點N，則N（x，x+3）．（如圖1）

∴ ．

∴ ．

解得 x1=1，x2=2．

故點M的坐標為（1，2）或 （2，3）．

（3）

解：如圖2，由 PA=PO，OA=c，可得 ．

∵拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為 ，

∴ ．

∴b2=2c．

∴拋物線 ，A（0， ），P（ ， ），D（ ，0）．

可得直線OP的解析式為 ．

∵點B是拋物線 與直線 的圖象的交點，

令 ．

解得 ．

可得點B的坐標為（﹣b， ）．

由平移后的拋物線經過點A，可設平移后的拋物線解析式為 ．

將點D（ ，0）的坐標代入 ，得 ．

則平移后的拋物線解析式為 ．

令y=0，即 ．

解得 ．

依題意，點C的坐標為（﹣b，0）．

則BC= ．

則BC=OA．

又∵BC∥OA，

∴四邊形OABC是平行四邊形．

∵∠AOC=90°，

∴四邊形OABC是矩形．

【解析】（1）首先求出b的值，然后把b=﹣2及點B（3，6）的坐標代入拋物線解析式y=x2+bx+c求出c的值，拋物線的解析式即可求出；（2）首先求出A點的坐標，進而求出直線AB的解析式，設直線AB下方拋物線上的點M坐標為（x，x2﹣2x+3），過M點作y軸的平行線交直線AB于點N，則N（x，x+3），根據三角形面積為3，求出x的值，M點的坐標即可求出；（3）由PA=PO，OA=c，可得 ，又知拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標為 ，即可求出b和c的關系，進而得到A（0， ），P（ ， ），D（ ，0），根據B點是直線與拋物線的交點，求出B點的坐標，由平移后的拋物線經過點A，可設平移后的拋物線解析式為 ，再求出b與m之間的關系，再求出C點的坐標，根據兩對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，結合∠AOC=90°即可證明四邊形OABC是矩形．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．