Question

如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=-

4

3

x+8的圖象與x軸，y軸交于A、B兩點，OD=

1

4

OB，AC=

1

4

AB，過點C作CE⊥OA于點E，點M從點C出發，沿CD方向運動，過點M作MN⊥OA于點N，過點N作NP∥AB，交OB于點P，當點N與點O重合時點M停止運動．設AN=a．
（1）求點C的坐標；
（2）用含a的代數式表示NP；
（3）是否存在點M，使△MNP為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵一次函數y=-

4

3

x+8的圖象與x軸，y軸交于A、B兩點，
∴點A的坐標為：（6，0），點B的坐標為：（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=

OA2+OB2

=10，
∴OD=

1

4

OB=2，AC=

1

4

AB=

5

2

，
∴OD：OB=AC：AB=1：4，
∴CD∥OA，
∵CE⊥OA，MN⊥OA，OA⊥OB，
∴四邊形ODCE與四邊形ODMN是矩形，
∴MN=CE=OD=2，DM=ON，
∴AE=

AC2-CE2

=

3

2

，
∴OE=OA-AE=6-

3

2

=

9

2

，
∴點C的坐標為：（

9

2

，2）；

（2）∵NP∥AB，
∴

ON

OA

=

NP

AB

，
∵AN=a，
∴ON=OA-AN=6-a，
∴

NP

10

=

6-a

6

，
解得：NP=

30-5a

3

；

（3）存在點M，能夠使△MNP為等腰三角形，理由如下：
過點D作DQ∥AB交OA于Q，則

OQ

OA

=

OD

OB

，即

OQ

6

=

2

8

，
解得OQ=1.5，
∴AQ=OA-OQ=6-1.5=4.5．
∴當a=4.5時，點P與點D重合，此時△MNP不是等腰三角形．
分兩種情況討論：
①當0≤a＜4.5，即點P在點D上方時，如右圖．
∵NP∥AB，
∴

ON

OA

=

OP

OB

，
∴

OP

8

=

6-a

6

，
解得：OP=

24-4a

3

，
∴PD=OP-OD=

18-4a

3

，
∴PM²=PD²+DM²=（

18-4a

3

）²+（6-a）²=

25a2-252a+648

9

．
由于PN＞MN，所以當△MNP為等腰三角形時，可能有兩種情況：
當PM=MN時，

25a2-252a+648

9

=4，解得a₁=4.08，a₂=6（不合題意，舍去）；
當PM=PN時，

25a2-252a+648

9

=（

30-5a

3

）²，解得a=5.25（不合題意，舍去）；
②當4.5＜a＜6，即點P在點D下方時，如右圖．
∵NP∥AB，
∴

ON

OA

=

OP

OB

，
∴

OP

8

=

6-a

6

，
解得：OP=

24-4a

3

，
∴PD=OD-OP=

4a-18

3

，
∴PM²=PD²+DM²=（

4a-18

3

）²+（6-a）²=

25a2-252a+648

9

．
當△MNP為等腰三角形時，可能有三種情況：
當PM=MN時，

25a2-252a+648

9

=4，解得a₁=4.08，a₂=6（均不合題意，舍去）；
當PM=PN時，

25a2-252a+648

9

=（

30-5a

3

）²，解得a=5.25；
當PN=MN時，

30-5a

3

=2，解得a=4.8．
綜上可知，存在點M，能夠使△MNP為等腰三角形，此時滿足要求的a的值為4.08或4.8或5.25．