Question

5．若x=$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2002}$-$\frac{1}{\sqrt{2002}}$]，求$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x的值．

Answer 1

分析 將x=$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2002}$-$\frac{1}{\sqrt{2002}}$]代入原式中，利用完全平方公式可得出$\sqrt{{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2002}$+$\frac{1}{\sqrt{2002}}$]，再根據實數的加減運算即可得出結論．

解答 解：∵x=$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2002}$-$\frac{1}{\sqrt{2002}}$]，
∴原式=$\sqrt{\frac{1}{4}[\sqrt{2002}-\frac{1}{\sqrt{2002}}]^{2}+1}$+$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2002}$-$\frac{1}{\sqrt{2002}}$]，
=$\sqrt{\frac{1}{4}[\sqrt{2002}]^{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}[\frac{1}{\sqrt{2002}}]^{2}+1}$+$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2002}$-$\frac{1}{\sqrt{2002}}$]，
=$\sqrt{\frac{1}{4}[\sqrt{2002}+\frac{1}{\sqrt{2002}}]^{2}}$+$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2002}$-$\frac{1}{\sqrt{2002}}$]，
=$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2002}$+$\frac{1}{\sqrt{2002}}$]+$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2002}$-$\frac{1}{\sqrt{2002}}$]，
=$\sqrt{2002}$．

點評 本題考查了二次根式的化簡求值、完全平方公式以及實數的加減運算，利用完全平方公式將$\sqrt{{x}^{2}+1}$轉化為$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2002}$+$\frac{1}{\sqrt{2002}}$]是解題的關鍵．