Question

如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，Rt△AOB的直角邊OB，OA分別在x軸上和y軸上，其中OA=2，OB=4，現將Rt△AOB繞著直角頂點O按逆時針方向旋轉90°得到△COD，已知一拋物線經過C、D、B三點．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）連接DB，P是線段BC上一動點（P不與B、C重合），過點P作PE∥BD交CD于E，則當△DEP面積最大時，求PE的解析式；
（3）作點D關于此拋物線對稱軸的對稱點F，連接CF交對稱軸于點M，拋物線上一動點R，x軸上一動點Q，則在拋物線上是否存在點R，x軸上是否存在點Q，使得以C、M、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質，易求得OC、OD的長，即可得出C、D的坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）過E作x軸的垂線，設垂足為H；可設出P點坐標，根據△CPE∽△CBD得出的對應高和對應邊的比，求出EH的表達式，即可得出關于△CEP的面積和P點橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出P、E坐標，進而可用待定系數法求出直線PE的解析式．
（3）此題要分兩種情況討論：①以CM為邊，②以CM為對角線；可根據平行四邊形的性質得出Q點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出Q點坐標．

解答：解：（1）∵△COD≌△AOB
∴OC=OA，OD=OB
∴OC=2，OD=4
∴C（-2，0）D（0，4）B（4，0）
∴設此拋物線的解析式y=ax²+bx+4（a≠0）
將C（-2，O）B（4，0）代入

4a-2b+4=0 16a+4b+4=0

∴

a=- 1 2 b=1

∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

x2+x+4（4分）

（2）過E作EH⊥x軸，
∵S_△DEP=S_△DCP-S_△ECP
=

1

2

CP•OD-

1

2

CP•EH
=

1

2

CP（OD-EH）
設點P（m，0）
∵P在BC之間運動
∴CP=m+2
∵PE∥BD
∴△CEP∽△CDB
∴

EH

OD

=

CP

BC

∴

EH

4

=

m+2

6

∴EH=

2m+4

3

∴S_△DEP=

1

2

(m+2)(4-

2m+4

3

)
=-

1

3

(m-1)2+3（6分）
∴當m=1時，S_△DEP有最大值為3，此時P（1，0）（7分）
又∵D（0，4）
又設BD的解析式y=kx+4（k≠0）
將B（4，0）代入0=4k+4
k=-1
∴BD：y=-x+4
∵PE∥BD
∴設PE：y=-x+b，
將P（1，0）代入
即0=-1+b，
解得b=1
∴PE的解析式為：y=-x+1；（8分）

（3）存在
∵D（0，4）F（2，4）
CF：y=x+2
∴M（1，3）
若以CM為邊
在y=-

1

2

x2+x+4中令y=3
解得：x₁=1+

3

，x₂=1-

3

∴Q₁（-2+

3

，0）Q₂（-2-

3

，0）（10分）
令y=-3，-

1

2

x2+x+4=-3
解得：x₁=1+

15

，x₂=1-

15

Q₃（4+

15

，0）Q₄（4-

15

，0）（12分）
若以CM為對角線，Q₅與Q₁重合
∴共有四個點Q．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形的判定和性質等知識．綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．