Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（﹣3，1），點B（0，5），過點A作直線l⊥AB，過點B作BD∥l，交x軸于點D，再以點B為圓心，BD長為半徑作弧，交直線l于點C（點C位于第四象限），連結BC，CD．

（1）求線段AB的長．

（2）點M是線段BC上一點，且BM＝CA，求DM的長．

（3）點M是線段BC上的動點．

①若點N是線段AC上的動點，且BM＝CN，求DM+DN的最小值．

②若點N是射線AC上的動點，且BM＝CN，求DM+DN的最小值（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）AB=5；（2）DM=5；（3）①DM+DN的最小值為．②DM+DN的最小值為．

【解析】

（1）過點A作y軸垂線AE，利用A、B坐標求得AE、BE的長，在Rt△ABE中利用勾股定理即求出AB的長．

（2）由BD∥l得∠DBM＝∠BCA，加上BC＝BD，BM＝CA，用邊角邊即可證△DBM≌△BCA，進而得DM＝BA＝5．

（3）①由邊角邊易證△DBM≌△BCN，得DM＝BN，把DM+DN轉化為求BN+DN．作點B關于直線l的對稱點B'，易得當B'、N、D在同一直線上時，DM+DN＝B'D最小．易證∠B'BD＝90°，BB'＝2AB＝10，只要求得BD或BC的長即能求B'D．用“HL”證Rt△BAC≌Rt△BOD得∠ABC＝∠OBD，轉換得∠ABO＝∠ACB，則其正弦值相等．在Rt△ABE中sin∠ABE可求，則在Rt△ABC中利用sin∠ACB的值求出BC的長，進而得BD和B'D的值．

②N在射線AC上運動分兩種情況，第一種即①N在線段AC上，最小值為 ．第二種為N在線段AC延長線上，過點B作BF∥DC交直線l于點F，構造平行四邊形BDCF，利用邊角邊證△BMF≌△CND，得MF＝DN，所以當D、M、F在同一直線上時，DM+DN＝DM+MF＝DF最小．過D作直線l垂線DG，易得DG＝AB＝5，AG＝BD＝ ．在Rt△ABC中求AC的長，即求得AF的長進而求FG的長，再用勾股定理即可求DF的長為5．比較兩種情況的最小值，更小的值即為答案．

解：（1）過點A作AE⊥y軸于點E，如圖1

∴∠AEB＝90°

∵A（﹣3，1），點B（0，5）

∴AE＝3，OE＝1，OB＝5

∴BE＝OB﹣OE＝4

∴AB＝

（2）連接DM，如圖1，

∵BD∥直線l

∴∠DBM＝∠BCA

在△DBM與△BCA中

∴△DBM≌△BCA（SAS）

∴DM＝BA＝5

（3）①延長BA到點B'，使AB'＝AB，連接B'D，如圖2

∴直線l垂直平分BB'，BB'＝2AB＝10

∵點N為直線l上的動點

∴BN＝B'N

在△DBM與△BCN中

∴△DBM≌△BCN（SAS）

∴DM＝BN

∴DM+DN＝BN+DN＝B'N+DN

∴當點D、N、B'在同一直線上時，DM+DN＝B'N+DN＝B'D最小

∵直線l⊥AB

∴∠BAC＝∠BOD＝90°

在Rt△BAC與Rt△BOD中

∴Rt△BAC≌Rt△BOD（HL）

∴∠ABC＝∠OBD

∴∠ABC﹣∠OBC＝∠OBD﹣∠OBC

即∠ABO＝∠CBD

∴∠ABO＝∠ACB

在Rt△ABE中，sin∠ABO＝

∴在Rt△ABC中，sin∠ACB＝

∴BD＝BC＝ AB＝

∵BD∥直線l

∴∠B'BD＝180°﹣∠BAC＝90°

∴B'D＝

∴DM+DN的最小值為．

②當點N在線段AC上時，由①可知DM+DN最小值為

當點N在線段AC延長線上時，如圖3，

過點B作BF∥DC交直線l于點F，連接MF、DF，過點D作DG⊥直線l于點G

∴四邊形BDCF是平行四邊形

∴BF＝CD，CF＝BD＝ ，∠MBF＝∠BCD＝∠BDC＝∠NCD

在△BMF與△CND中

∴△BMF≌△CND（SAS）

∴MF＝DN

∴DM+DN＝DM+MF

∴當D、M、F在同一直線上時，DM+DN＝DM+MF＝DF最小

∵∠BAG＝∠ABD＝∠AGD＝90°

∴四邊形ABDG是矩形

∴AG＝BD＝，DG＝AB＝5

∵Rt△ABC中，AC＝

∴AF＝CF﹣AC＝

∴FG＝AF+AG＝ ＝10

∴DF＝

∵5 ＜

∴當N在射線AC上運動時，DM+DN的最小值為．