Question

【題目】二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A、B（5,0），與y軸交于點C，拋物線的頂點為M(2,-9)，連接BM，點P為線段BM上的一個動點．

(1)求二次函數的解析式．

(2)過點P作x軸的垂線，垂足為點Q，求四邊形ACPQ面積的最大值．

(3)是否存在點P，使得以P、M、C為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，，或 或

【解析】

（1）根據拋物線的頂點為，將化成頂點式，然后將點代入，化簡計算即可；

（2）求出A，B，C三點的坐標，可得直線的表達式為，設點，則，根據化簡求解即可；

（3）分三種情況討論：當時，當時，當時分別求解即可.

解：（1）拋物線的頂點為，

設拋物線的表達式為.

將點代入得，.

解得

二次函數的表達式為；

（2）令，得，

.

拋物線的對稱軸為直線，，

.

由，可得直線的表達式為，

設點，則，

則

.

,,

當時，四邊形面積有最大值，最大值為；

（3）存在，由（2）知直線的表達式為.

設，其中，

由，，可得，

，，；

分情況討論如下：

1. 當時，有.

解得（舍），，

此時點的坐標為；

2. 當時，有.

解得（舍），，

此時點的坐標為；

3. 當時，有.

解得

此時點的坐標為；

綜上所述，當是等腰三角形時，點的坐標為，或 或.