Question

已知拋物線y=kx²+（k-2）x-2（其中k＞0）．
（1）求該拋物線與x軸的交點及頂點的坐標（可以用含k的代數式表示）；
（2）若記該拋物線頂點的坐標為P（m，n），直接寫出|n|的最小值；
（3）將該拋物線先向右平移

1

2

個單位長度，再向上平移

1

k

個單位長度，隨著k的變化，平移后的拋物線的頂點都在某個新函數的圖象上，求新函數的解析式（不要求寫自變量的取值范圍）．

Answer 1

分析：（1）令y=0，解方程kx²+（k-2）x-2=0即可得到拋物線與x軸的交點，根據拋物線的頂點坐標公式（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）代入進行計算即可求解；
（2）根據（1）的結果，然后利用絕對值的性質，再根據恒不等式列式進行解答；
（3）根據左加右減，上加下減，寫出平移后的拋物線頂點坐標，然后消掉字母k即可得解．

解答：解：（1）當y=0時，kx²+（k-2）x-2=0，
即（kx-2）（x+1）=0，
解得x₁=

2

k

，x₂=-1，
∴拋物線與x軸的交點坐標是（

2

k

，0）與（-1，0），
-

b

2a

=-

k-2

2k

=

1

k

-

1

2

，

4ac-b2

4a

=

4k×(-2)-(k-2)2

4k

=-

(k+2)2

4k

，
∴拋物線的頂點坐標是（

1

k

-

1

2

，-

(k+2)2

4k

）；

（2）根據（1），|n|=|-

(k+2)2

4k

|=

(k+2)2

4k

=

k2+4k+4

4k

=

k

4

+

1

k

+1≥2

k 4 × 1 k

+1=1+1=2，
當且僅當

k

4

=

1

k

，即k=2時取等號，
∴當k=2時，|n|的最小值是2；

（3）

1

k

-

1

2

+

1

2

=

1

k

，
-

(k+2)2

4k

+

1

k

=

-k2-4k-4+4

4k

=

-k2-4k

4k

=-

1

4

k-1，
設平移后的拋物線的頂點坐標為（x，y），
則

x= 1 k y=- 1 4 k-1

，
消掉字母k得，y=-

1

4x

-1，
∴新函數的解析式為y=-

1

4x

-1．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點問題，頂點坐標以及二次函數的性質，二次函數的圖象與幾何變換，綜合性較強，難度較大，需仔細分析求解．