Question

【題目】如圖1，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點．

　　　

（1）求，的值；

（2）點是第一象限拋物線上一動點，過點作軸的垂線，交于點．當△為等腰三角形時，求點的坐標；

（3）如圖2，拋物線頂點為，已知直線與二次函數圖象相交于，兩點．求證：無論為何值，△恒為直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的坐標，，；（3）見解析．

【解析】

（1）將點代入解析式中即可求出結論；

（2）利用待定系數法求出直線BC的解析式，設點，則點 ，過點作于點，根據等腰三角形腰的情況分類討論，然后根據三線合一、等腰直角三角形的性質列出方程即可求出結論；

（3）將二次函數和一次函數的解析式聯立，整理得，設點的坐標為，根據根與系數的關系可得則， ，，然后利用平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式和勾股定理的逆定理即可證出結論．

解：（1）將點代入，

得，

解得，

∴；

（2）設直線的解析式為，

將點代入，

得，，

∴直線的解析式為，

設點，則點 ，

過點作于點，

①當時，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即，

解得，（舍去），，

∴；

②當時，

，

解得

∴

③當時，此時點P和點M重合

，

解得

∴

綜上所述點的坐標，，；

（3）將二次函數與直線的表達式聯立并整理得：，

設點的坐標為，

則，

則 ，

同理：，

點的坐標為，，點，

∴

即：為直角三角形．