Question

【題目】如圖，直線與軸交于點A，與軸交于點B，拋物線經過原點和點C（4,0），頂點D在直線AB上。

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以P、C、D為頂點的三角形與△ACD相似。若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）點Q是軸上方的拋物線上的一個動點，若，⊙M經過點O，C，Q，求過C點且與⊙M相切的直線解析式

Answer 1

【答案】（1）；（2）點；（3）.

【解析】試題分析： 先求出點的坐標，把點的坐標代入拋物線即可求出拋物線的解析式.

分兩種情況進行討論.

在中，用余弦得到設 根據勾股定理求出的值，求出點的坐標，根據待定系數法求出直線的解析式.

試題解析：

（1）由題知：D點的橫坐標為2，

∴，

把代入拋物線： 解之得：

∴拋物線的解析式為：

（2）存在點

設對稱軸與軸交于點,

易知：

情況1： 點在點上方，則

若 則

∴ 解得： ,

∴.

若則

解得：

∴ .

情況2：若P在D點的下方，則沒有一個角會為

∴與不可能相似

綜上可知：存在點

（3）、設與軸交于點,連NC交拋物線對稱軸于一點，即為圓心M點,

在中，

設

則： 解得：

∴點坐標為（0,8），

設過點且與相切的直線為

則 ,把點代入有： ，解得:

∴過點且與相切的直線為 .