Question

【題目】在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點D為AB上一點．

（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：CD2＝ADDB；

（2）如圖2，若AC＝BC，EF⊥CD于H，EF與BC交于E，與AC交于F，且＝，求的值；

（3）如圖3，若AC＝BC，點H在CD上，且∠AHD＝45°，CH＝3DH，直接寫出tan∠ACH的值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）證出∠B=∠ACD，證明△CBD∽△ACD，得出CD：AD=BD：CD，即可得出結論；

（2）設FH=4a，則HE=9a（a＞0），同（1）得CH2=HEFH=36a2，則CH=6a，在Rt△CHF中，tan∠ACD=＝，過D作DP⊥AC于P，則DP∥BC，在Rt△DPC中，tan∠ACD=＝，△ADP是等腰直角三角形，得出AP=DP，求出＝＝，由平行線分線段成比例定理即可得出答案；

（3）過點D作DM⊥AH于M，設DH=2x，則CH=6x（x＞0），CD=DH+CH=8x，證明△ADH∽△CDA，得出∠DAH=∠ACH，AD：CD=DH：AD，求出AD=4x，證明△ADM是等腰直角三角形，得出DM=HM=DH=x，由勾股定理得出AM=x，由三角函數定義即可得出答案．

（1）證明：∵CD⊥AB，

∴∠ADC＝∠CDB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠B+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，

∴∠B＝∠ACD，

∴△CBD∽△ACD，

∴CD：AD＝BD：CD，

∴CD2＝ADDB；

（2）∵＝，

∴設FH＝4a，則HE＝9a（a＞0），

∵∠ACB＝90°，EF⊥CD，

∴同（1）得：CH2＝HEFH＝9a×4a＝36a2，

∴CH＝6a，

在Rt△CHF中，tan∠ACD＝＝＝，

過D作DP⊥AC于P，如圖2所示：

則DP∥BC，

在Rt△DPC中，tan∠ACD＝＝，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠A＝45°，

∴△ADP是等腰直角三角形，

∴AP＝DP，

∴＝＝，

∵DP∥BC，

∴＝＝；

（3）過點D作DM⊥AH于M，如圖3所示：

∵CH＝3DH，

∴設DH＝2x，則CH＝6x（x＞0），

∴CD＝DH+CH＝8x，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝45°＝∠AHD，

又∵∠ADH＝∠CDA，

∴△ADH∽△CDA，

∴∠DAH＝∠ACH，AD：CD＝DH：AD，

∴AD2＝DHCD＝16x2，

∴AD＝4x，

∵DM⊥AH，∠AHD＝45°，

∴△ADM是等腰直角三角形，

∴DM＝HM＝DH＝x，

∴AM＝＝＝x，

∴tan∠ACH＝tan∠DAH＝＝＝；

故答案為：．