Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，P是AB邊上的一點（不與A，B重合），PE平分∠APC交射線AD于E，過E作EM⊥PE交直線CP于M，交直線CD于N．

（1）求證：CM=CN；

（2）若AB：BC=4：3，

①當=　 　時，E恰好是AD的中點；

②如圖2，當△PEM與△PBC相似時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）①；②．

【解析】試題分析：（1）由矩形的性質得出∠A=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，由平行線的性質、互余兩角關系、對頂角相等以及角平分線證出∠CMN=∠N，即可得出結論；

（2）①由題意得出M、N、C三點重合，由ASA證明△APE≌△DFE，得出AP=DF，PE=FE，由線段垂直平分線的性質證出AP+CD=PC，設AD=3，AB=4，過P作PF⊥CD于F，設AP=DE=x，則PB=CF=4﹣x，PC=4+x，PF=3，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②分兩種情況：1．若△PEM∽△CCBP，則∠EPM=∠BCP，得出PE∥BC，不成立；

　2．若△PEM∽△PBC，則∠APB=∠EPM=∠BPC=60°，設AB=4a，BC=AD=3a，則PB= a，AP=（）a，AE=（）a，設PE與CD交于點F，證出△PEM∽△FEN，由相似三角形的性質和平行線分線段成比例定理得出，即可得出結果．

試題解析：解：（1）延長PE交CD的延長線于F，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=∠ADC=∠EDF═90°，AB=CD，AD=BC，∴∠APE+∠AEP=90°，∴∠F=∠APE，∵EM⊥EN，∴∠PEN=∠FEN=90°，∴∠CPE+∠PME=90°，∠F+∠N=90°，∵PE平分∠APC，∴∠APE=∠MPE，又∵∠PME=∠CMN，∴∠CMN=∠N，∴CM=CN；

（2）①若E是AD的中點，則M、N、C三點重合，∵E為AD的中點，∴AE=DE，在△APE和△DFE中，∵∠A=∠EDF，AE=DE，∠AEP=∠DEF，∴△APE≌△DFE（ASA），∴AP=DF，PE=FE，∵EM⊥EN，∴PC=FC，∵FC=CD+DF，∴AP+CD=PC，設AD=3a，AB=4a，過P作PF⊥CD于F，如圖2所示：

設AP=DE=x，則PB=CF=4﹣x，PC=4+x，PF=3，由勾股定理得：（4﹣x）2+32=（4+x）2，解得：x=a，4﹣x=a，∴=；

②分兩種情況：

　1．若△PEM∽△CCBP，則∠EPM=∠BCP，∴PE∥BC，不成立；

　2．若△PEM∽△PBC，則∠APE=∠EPM=∠BPC=60°，設AB=4a，BC=AD=3a，則PB=a，AP=（）a，AE=（）a，設PE與CD交于點F，如圖3所示：

∵AB∥CD，∴∠EFN=∠BFC=∠APE=60°，∴∠N=∠M=90°﹣60°=30°，∵EM⊥PE，∴∠NEF=∠PEM=90°，∴△PEM∽△FEN，∴ ，∵AB∥CD，∴，∴==．