Question

【題目】若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，且其中一個等腰三角形的底角是另一個等腰三角形底角的2倍，我們把這條對角線叫做這個四邊形的黃金線，這個四邊形叫做黃金四邊形．

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD=DC，對角線AC，BD都是黃金線，且AB＜AC，CD＜BD，求四邊形ABCD各個內角的度數；

（2）如圖2，點B是弧AC的中點，請在⊙O上找出所有的點D，使四邊形ABCD的對角線AC是黃金線（要求：保留作圖痕跡）；

（3）在黃金四邊形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度數．

Answer 1

【答案】（1）108°，72°，108°，72°． （2）圖形見解析（3）∠BAD的度數為80°．

【解析】試題分析：（1）先由對角線AC是黃金線，可知△ABC是等腰三角形，分兩種情況討論：①AB=BC；②AC=BC.根據黃金四邊形的定義和四邊形的內角和求解即可；

（2）①以A為圓心，AC為半徑畫弧，交圓O于D1，②以C為圓心，AC為半徑畫弧，交圓O于D2，③連接AD1，CD1，AD2，CD2.

（3）先根據∠BAC=30°，算得∠ABC=120°，再分情況討論：

i：當AC為黃金線，則AD=CD，或AD=AC，根據等腰三角形及黃金四邊形進行計算即可；ii：當BD為黃金線時，分三種情況：①當AB=AD時，②當AB=BD時，③當AD=dD時。

試題解析：（1）∵在四邊形ABCD中，對角線AC是黃金線，

∴△ABC是等腰三角形，

∵AB＜AC，

∴AB=BC或AC=BC，

①當AB=BC時，

∵AB=AD=DC，

∴AB=BC=AD=DC，

又∵AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，

此種情況不符合黃金四邊形定義，

②AC=BC，

同理，BD=BC，

∴AC=BD=BC，易證得△ABD≌△DAC，△CAB≌△BDC，

∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA，

且∠DCA＜∠DCB，

∴∠DAC＜∠CAB

又由黃金四邊形定義知：∠CAB=2∠DAC，

設∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°，

則∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°，

∴∠DAB=∠ADC=3x°，

而四邊形的內角和為360°，

∴∠DAB=∠ADC=108°，∠BCD=∠CBA=72°，

答：四邊形ABCD各個內角的度數分別為108°，72°，108°，72°．

（2）由題意作圖為：

（3）∵AB=BC，∠BAC=30°，

∴∠BCA=∠BAC=30°，∠ABC=120°，

ⅰ）當AC為黃金線時，

∴△ACD是等腰三角形，

∵AB=BC=CD，AC＞BC，

∴AD=CD或AD=AC，

當AD=CD時，則AB=BC=CD=AD，

又∵AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，

如圖3，此種情況不符合黃金四邊形定義，

∴AD≠CD，

當AD=AC時，由黃金四邊形定義知，∠ACD=∠D=15°或60°，

此時∠BAD=180°（不合題意，舍去）或90°（不合題意，舍去）；

ⅱ）當BD為黃金線時，

∴△ABD是等腰三角形，

∵AB=BC=CD，

∴∠CBD=∠CDB，

①當AB=AD時，△BCD≌△BAD，

此種情況不符合黃金四邊形定義；

②當AB=BD時，AB=BD=BC=CD，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠CBD=60°，

∴∠A=30°或120°（不合題意，舍去），

∴∠ABC=180°（不合題意，舍去），

此種情況也不符合黃金四邊形定義；

③當AD=BD時，設∠CBD=∠CDB=y°，則∠ABD=∠BAD=（2y）°或，

∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°，

當∠ABD=2y°時，y=40，

∴∠BAD=2y=80°；

當時，y=80°，

∴；

由于∠ADB=180°-40°-40°=100°，

∠BDC=80°，

∴∠ADB+∠BDC=180°，

∴此種情況不能構成四邊形，

綜上所述：∠BAD的度數為80°．