Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+b分別與x軸、y軸交于A、B兩點，過點B的拋物線y=﹣ （x﹣2）2+m的頂點P在這條直線上，以AB為邊向下方做正方形ABCD．

（1）當m=2時，k= ， b=；當m=﹣1時，k= ， b=；
（2）根據（1）中的結果，用含m的代數式分別表示k與b，并證明你的結論；
（3）當正方形ABCD的頂點C落在拋物線的對稱軸上時，求對應的拋物線的函數關系式；
（4）當正方形ABCD的頂點D落在拋物線上時，直接寫出對應的直線y=kx+b的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）解： ；1；；﹣2
（2）

解：k= ，b=m﹣1．

證明：∵y=﹣ （x﹣2）2+m，

∴拋物線的頂點坐標為（2，m）．

把x=0代入得：y=m﹣1．

∴b=m﹣1．

設直線AB的解析式為y=kx+m﹣1．

將x=2，y=m代入得：2k+m﹣1=m，解得k=

（3）

解：如圖1所示，過點C作CE⊥y軸，垂足為E．

∵ABCD為正方形，

∴AB=BC，∠ABE+∠EBC=90°．

又∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAO=∠EBC．

在△ABO和△BCE中 ，

∴△ABO≌△BCE．

∴EC=OB=2．

∴m﹣1=2．

∴m=3．

∴拋物線的解析式為y=﹣ （x﹣2）2+3

（4）

解：如圖2所示當點B在y軸的正半軸上時，過點D作DE⊥x軸與點E．

由（2）可知：直線AB的解析式為y= x+m﹣1．

當x=0時，y=m﹣1，當y=0時，x=2﹣2m．

∴OA=2m﹣2，OB=m﹣1．

∵∠BAO+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAO=∠ADE．

在△ABO和△DAE中 ，

∴△ABO≌△DAE．

∴AE=OB=1﹣m，ED=AO=2m﹣2．

∴D（1﹣m，2﹣2m）．

∵點D在拋物線上，

∴2﹣2m=﹣ （﹣m﹣1）2+m，解得m=9或m=1（舍去）．

∴直線的解析式為y= x+9．

如圖3所示：當點B在y軸的負半軸上時，

當x=0時，y=m﹣1，當y=0時，x=2﹣2m．

∴OA=2﹣2m，OB=1﹣m．

∵∠BAO+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠BAO=∠ADE．

在△ABO和△DAE中 ，

∴△ABO≌△DAE．

∴AE=OB，ED=AO．

∴D（3﹣3m，2m﹣2）．

∵點D在拋物線上，

∴2m﹣2=﹣ （1﹣3m）2+m，解得m=﹣ 或m=1（舍去）．

∴直線的解析式為y= x﹣ ．

綜上所述，直線的解析式為y= x+9或y= x﹣

【解析】解：（1）當m=2時，y=﹣ （x﹣2）2+2，
∴P（2，2）．
把x=0代入得：y=1，
∴B（0，1）．
設直線AB的解析式為y=kx+1，
將點P的坐標（2，2）代入得：2k+1=2，解得：k= ．
∴k= ，b=1．
當m=﹣1時，y=﹣ （x﹣2）2﹣1．
∴P（2，﹣1）．
把x=0代入得：y=﹣2，
∴B（0，﹣2）．
設直線AB的解析式為y=kx﹣2，
將點P的坐標（2，﹣1）代入得：2k﹣2=﹣1，解得：k= ．
∴k= ，b=﹣2．
故答案為： ；1； ；﹣2．
（1）將m的值代入可求得點P的坐標，將x=0代入求得y的值，從而可得到點B的坐標，然后利用待定系數法可求得直線AB的解析式；（2）由函數解析式得到點P的坐標，將x=0代入可求得y的值，從而得到點B的坐標，然后利用待定系數法求得AB的解析式，從而得到k、b的值；（3）過點C作CE⊥y軸，垂足為E．然后證明△ABO≌△BCE，從而可得到點B的坐標，然后由點B的坐標可求得點m的值；（4）當點B在y軸的正半軸上時，過點D作DE⊥x軸與點E．然后證明△ABO≌△DAE，從而可得到點D的坐標，然后將點D的坐標代入函數解析式可求得m的值，從而得到直線AB的解析式；當點B在y軸的負半軸上時，證明△ABO≌△DAE，從而可得到點D的坐標，然后將點D的坐標代入函數解析式可求得m的值，從而得到直線AB的解析式．