Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則下列說法正確的有（　　）
①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③AD上任意一點到B、C兩點的距離相等；④圖中共有3對全等三角形．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據角平分線性質得出DE=DF，∠EAD=∠FAD，即可判斷①；
根據勾股定理即可求出AE=AF，即可判斷②；
根據等腰三角形性質得出AD⊥BC，BD=DC，根據線段垂直平分線性質即可判斷③；
根據全等三角形的判定即可判斷④．

解答：解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠EAD=∠FAD，
∵∠EDA+∠EAD+∠DEA=180°，∠FAD+∠FDA+∠DFA=180°，
∴∠EDA=∠FDA，∴①正確；
∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵AD=AD，
∴由勾股定理得：AE²=AD²-DE²，AF²\AD²-DF²，
∴AE=AF，∴②正確；
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴AD上任意一點到B、C兩點的距離相等，∴③正確；
圖中的全等三角形有△DEA≌△DFA，△BAD≌△CAD，△CFD≌△BED，共3對，∴④正確；
故選D．

點評：本題考查了角平分線性質，等腰三角形的性質，勾股定理，線段垂直平分線性質的應用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．