Question

【題目】如圖，△ABC 內接于⊙O，∠B=60°，CD 是⊙O 的直徑，點 P 是 CD 延長線上的一點且 AP=AC．

（1）求證：PA 是⊙O 的切線；

（2）若，，求⊙O的半徑

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）3

【解析】

（1）連接OA，根據圓周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，繼而由∠OAP=∠AOC-∠P，可得出OA⊥PA，從而得出結論；

（2）過點C作CE⊥AB于點E．在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=4，于是得到BE=BC=2，CE=，根據勾股定理得到，于是得到AP=AC=．在Rt△PAO中，解直角三角形即可得到結論．

(1)證明：連接

∵∠B=60°

∴∠AOC＝2∠B=120°

又∵OA＝OC

∴∠OAC＝∠OC A=30°

又∵AP＝AC

∴∠P＝∠ ACP=30°

∴∠OAP＝∠A OC-∠P =90°

∴OA⊥PA

∴PA是圓 O 的切線；

(2)解：過點C作CE⊥ AB于點E．

在 Rt△BCE 中，∠B= 60°，

BC =4，

∴

∴

∴在 Rt△ACE 中， ，

∴

∴在 Rt△PAO 中，OA=3，

∴⊙O的半徑為 3．