Question

6．如圖，甲、乙兩人分別從A（1，$\sqrt{3}$），B（6，0）兩點同時出發，點O為坐標原點，甲沿AO方向，乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達M點，乙到達N點．
（1）請說明甲、乙兩人到達O點前，MN與AB不可能平行；
（2）當t為何值時，△OMN∽△OBA；
（3）甲、乙兩人之間的距離為MN的長，設s=MN²，直接寫出s與t之間的函數關系式．

Answer 1

分析 （1）判斷出甲、乙兩人到達O點前，只有當t=0時，△OMN∽△OAB，即可推得MN與AB不可能平行．
（2）根據題意，分三種情況：①t＜$\frac{1}{2}$時；②當$\frac{1}{2}$＜t＜$\frac{3}{2}$時；③當t＞$\frac{3}{2}$時；求出當t為何值時，△OMN∽△OBA．
（3）根據題意，分三種情況：①t≤$\frac{1}{2}$時；②當$\frac{1}{2}$＜t≤$\frac{3}{2}$時；③當t＞$\frac{3}{2}$時；寫出s與t之間的函數關系式即可．

解答 解：（1）∵A點的坐標為（1，$\sqrt{3}$），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{3}）}^{2}}$=2；
∵OM=2-4t，ON=6-4t，
∴當$\frac{2-4t}{2}$=$\frac{6-4t}{6}$時，解得t=0，
∴甲、乙兩人到達O點前，只有當t=0時，△OMN∽△OAB，
∴MN與AB不可能平行．

（2）∵甲到達O點的時間為t=$\frac{1}{2}$，乙到達O點的時間為t=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴甲先到達O點，
∴t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{3}{2}$時，O、M、N三點不能連接成三角形．
①t＜$\frac{1}{2}$時，
如果△OMN∽△OBA，則有$\frac{2-4t}{6}$=$\frac{6-4t}{2}$，
解得t=2＞$\frac{1}{2}$，
∴△OMN不可能和△OBA相似．
②當$\frac{1}{2}$＜t＜$\frac{3}{2}$時，
∠MON＞∠AOB，
顯然△OMN不可能和△OBA相似．
③當t＞$\frac{3}{2}$時，
$\frac{4t-2}{6}$=$\frac{4t-6}{2}$，
解得t=2＞$\frac{3}{2}$，
∴當t=2時，△OMN∽△OBA．

（3）①當t≤$\frac{1}{2}$時，如圖1，過點M作MH⊥x軸于點H，
，
在Rt△MOH中，
∵∠AOB=60°，
∴MH=OMsin60°=（2-4t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$（1-2t），
∴OH=OMcos60°=（2-4t）×$\frac{1}{2}$=1-2t，
∴NH=（6-4t）-（1-2t）=5-2t，
∴s=[$\sqrt{3}$（1-2t）]²+（5-2t）²
=3（4t²-4t+1）+（4t²-20t+25）
=16t²-32t+28．
②當$\frac{1}{2}$＜t≤$\frac{3}{2}$時，如圖2，作MH⊥x軸于點H，
，
在Rt△MOH中，
MH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4t-2）=$\sqrt{3}$（2t-1），
NH=$\frac{1}{2}$（4t-2）+（6-4t）=5-2t，
∴s=[$\sqrt{3}$（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28．
③當t＞$\frac{3}{2}$時，同理可得s=[$\sqrt{3}$（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28．
綜上，可得s=[$\sqrt{3}$（1-2t）]²+（5-2t）²=16t²-32t+28．

點評 此題主要考查了三角形相似的判定和性質的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．