Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點，BG∥AC交DA的延長線于點G．

（1）求證：△ADF≌△CBE；

（2）若四邊形AGBC是矩形，判斷四邊形AECF是什么特殊的四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）菱形，證明見解析．

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得出AD=BC，AD∥BC，∠D=∠ABC，AB=CD，然后通過E、F分別是邊AB、CD的中點，得到DF=BE，由SAS證明△ADF≌△CBE即可；
（2）通過平行四邊形ABCD可得四邊形AECF為平行四邊形，然后由矩形的性質得出∠ACB=90°，由直角三角形斜邊上的中線性質得出CE=AB=AE，即可證出四邊形AECF為菱形．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=CB，∠D=∠ABC，AB=CD，

又∵E、F分別是邊AB、CD的中點，

∴DF=BE，

在△ADF和△CBE中，

∴△ADF≌△CBE；

（2）四邊形AECF為菱形；

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD∥AB，DC=AB，

又∵E、F分別是邊AB、CD的中點，

∴CF=AE，

∴四邊形AECF為平行四邊形，

∵矩形AGBC，

∴∠ACB=90°，

又∵E為AB中點，

∴CE=AB=AE，

∴四邊形AECF為菱形．