Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，拋物線與x軸的另一交點為B．

（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）設點P為拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x+3， y=﹣x2﹣2x+3；（2）（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）

【解析】

試題分析：（1）首先由題意根據拋物線的對稱性求得點B的坐標，然后利用交點式，求得拋物線的解析式；再利用待定系數法求得直線的解析式；

（2）首先利用勾股定理求得BC，PB，PC的長，然后分別從點B為直角頂點、點C為直角頂點、點P為直角頂點去分析求解即可求得答案．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，且拋物線經過A（1，0），拋物線與x軸的另一交點為B，

∴B的坐標為：（﹣3，0），

設拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）（x+3），

把C（0，3）代入，﹣3a=3，

解得：a=﹣1，

∴拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣1）（x+3）=﹣x2﹣2x+3；

把B（﹣3，0），C（0，3）代入y=mx+n得：

，

解得：，

∴直線y=mx+n的解析式為：y=x+3；

（2）設P（﹣1，t），

又∵B（﹣3，0），C（0，3），

∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，

①若點B為直角頂點，則BC2+PB2=PC2，

即：18+4+t2=t2﹣6t+10，解之得：t=﹣2；

②若點C為直角頂點，則BC2+PC2=PB2，

即：18+t2﹣6t+10=4+t2，解之得：t=4，

③若點P為直角頂點，則PB2+PC2=BC2，

即：4+t2+t2﹣6t+10=18，

解之得：t1=，t2=；

綜上所述P的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．