Question

【題目】如圖，AC，BD相交于點O，AC平分∠DCB，CD⊥AD，∠ACD＝45°，∠BAC＝60°.

（1）證明：AD∥BC；

（2）求∠EAD的度數；

（3）求證：∠AOB＝∠DAC +∠CBD

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）75°；（3）見解析.

【解析】（1）由AC平分∠DCB，∠ACD＝45°，可得∠BCD=90°,從而可證AD∥BC；

（2）由AD∥BC可求∠ACB＝∠ACD＝45°，然后由三角形內角和可求出∠ABC的度數,再根據兩直線平行，同位角相等可求出∠EAD的度數；；

（3）過點O作OF∥AD，則OF∥BC，根據平行線的性質可得∠AOF＝∠DAC，∠FOB＝∠CBD，然后等量代換可得結論.

⑴ 證明：∵AC平分∠DCB，

∴∠BCD＝2∠ACD＝2×45°＝90°.

∵CD⊥AD，

∴∠ADC＝90°，

∴∠BCD+∠ADC＝90°+90°＝180°，

∴AD∥BC；

⑵ ∵AC平分∠DCB，

∴∠ACB＝∠ACD＝45°，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB＝45°，

∴∠EAD＝180°－∠DAC－∠BAC

＝180°－45°－60°

＝75°；

⑶ 過點O作OF∥AD，

∵AD∥BC，

∴OF∥BC，

∴∠AOF＝∠DAC，∠FOB＝∠CBD，

∴∠AOB＝∠AOF+∠FOB＝∠DAC+∠CBD.