Question

如圖1，Rt△ABC兩直角邊的邊長(zhǎng)為AC=1，BC=2．
（1）如圖2，⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點(diǎn)X，與邊CB相切于點(diǎn)Y．請(qǐng)你在圖2中作出并標(biāo)明⊙O的圓心（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）
（2）P是這個(gè)Rt△ABC上和其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的⊙P與Rt△ABC的兩條邊相切．設(shè)⊙P的面積為S，你認(rèn)為能否確定S的最大值？若能，請(qǐng)你求出S的最大值；若不能，請(qǐng)你說(shuō)明不能確定S的最大值的理由．

Answer 1

分析：（1）作出∠B的角平分線(xiàn)BD，再過(guò)X作OX⊥AB，交BD于點(diǎn)O，則O點(diǎn)即為⊙O的圓心；
（2）由于⊙P與△ABC哪兩條邊相切不能確定，故應(yīng)分⊙P與Rt△ABC的邊AB和BC相切；⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時(shí)；⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時(shí)三種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）如圖所示：
①以B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，分別交BC、AB于點(diǎn)G、H；
②分別以G、H為圓心，以大于

1

2

GH為半徑畫(huà)圓，兩圓相交于D，連接BD；
③過(guò)X作OX⊥AB，交直線(xiàn)BD于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為⊙O的圓心．

（2）①當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊AB和BC相切時(shí)，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知，動(dòng)點(diǎn)P是∠ABC的平分線(xiàn)BM上的點(diǎn)，如圖1，在∠ABC的平分線(xiàn)BM上任意確定點(diǎn)P₁（不為∠ABC的頂點(diǎn)）
∵OX=BOsin∠ABM，P₁Z=BPsin∠ABM，當(dāng)BP₁＞BO時(shí)，P₁Z＞OX即P與B的距離越大，⊙P的面積越大，這時(shí)，BM與AC的交點(diǎn)P是符合題意的、BP長(zhǎng)度最大的點(diǎn)；
如圖2，∵∠BPA＞90°，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，則E在邊AB上，
∴以P為圓心、PC為半徑作圓，則⊙P與CB相切于C，與邊AB相切于E，即這時(shí)⊙P是符合題意的圓，這時(shí)⊙P的面積就是S的最大值，
∵AC=1，BC=2，∴AB=

5

，
設(shè)PC=x，則PA=AC-PC=1-x
在直角△APE中，PA²=PE²+AE²，
∴（1-x）²=x²+（

5

-2）²，
∴x=2

5

-4；
②如圖3，同理可得：當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊AB和AC相切時(shí)，設(shè)PC=y，則（2-y）²=y²+（

5

-1）²，
∴y=

5 -1

2

；
③如圖4，同理可得，當(dāng)⊙P與Rt△ABC的邊BC和AC相切時(shí)，設(shè)PF=z，
∵△APF∽△PBE，∴PF：BE=AF：PE，
∴

z

2-z

=

1-z

z

，
∴z=

2

3

．
由①、②、③可知，

2

3

＞

5 -1

2

＞2

5

-4，
∴z＞y＞x，
∴⊙P的面積S的最大值為

4

9

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線(xiàn)的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再利用數(shù)形結(jié)合及切線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行解答．