Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC 的外接圓，AB=AC，BD是⊙O的直徑，PA∥BC，與DB的延長線交于點P，連接AD．

（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AB= ，BC=4，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA交BC于點E，

由AB=AC可得OA⊥BC，

∵PA∥BC，

∴∠PAO=∠BEO=90°．

∵OA為⊙O的半徑，

∴PA為⊙O的切線．

（2）解：根據（1）可得CE= BC=2．

Rt△ACE中， ，

∴tanC= ．

∵BD是直徑，

∴∠BAD=90°，

又∵∠D=∠C，

∴tanD= = ，

∴AD= ．

【解析】（1）證PA是⊙O的切線，則需要證明PA垂直過A的半徑，為此連接OA，利用垂徑定理可證出OA⊥BC，再利用平行線的性質可得∠PAO=90°，可得證；
（2）在Rt△ACE中由勾股定理可求得AE的長，又，又易證∠D=∠C，且，從而求出AD的長.
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和切線的判定定理，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．