Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點．

（1）求拋物線解析式；

（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△MOA的面積為S．求S關于m的函數關系式，并求出當m為何值時，S有最大值，這個最大值是多少？

（3）若點Q是直線y=﹣x上的動點，過Q做y軸的平行線交拋物線于點P，判斷有幾個Q能使以點P，Q，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形的點，直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣4；（2）S關于m的函數關系式為S=﹣m2﹣2m+8，當m=﹣1時，S有最大值9；（3）Q坐標為（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）時，使點P，Q，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】

(1)設拋物線解析式為y＝ ax2 ＋ bx ＋ c,然后把點A、B、C的坐標代入函數解析式，利用待定系數法求解即可;

(2)利用拋物線的解析式表示出點M的縱坐標，從而得到點M到x軸的距離，然后根據三角形面積公式表示并整理即可得解，根據拋物線的性質求出第三象限內二次函數的最值，然后即可得解;

(3)利用直線與拋物線的解析式表示出點P、Q的坐標，然后求出PQ的長度，再根據平行四邊形的對邊相等列出算式，然后解關于x的一元二次方程即可得解.

解：（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

∵拋物線經過A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0），

∴，

解得，

∴拋物線解析式為y=x2+x﹣4；

（2）∵點M的橫坐標為m，

∴點M的縱坐標為m2+m﹣4，

又∵A（﹣4，0），

∴AO=0﹣（﹣4）=4，

∴S=×4×|m2+m﹣4|=﹣（m2+2m﹣8）=﹣m2﹣2m+8，

∵S=﹣（m2+2m﹣8）=﹣（m+1）2+9，點M為第三象限內拋物線上一動點，

∴當m=﹣1時，S有最大值，最大值為S=9；

故答案為：S關于m的函數關系式為S=﹣m2﹣2m+8，當m=﹣1時，S有最大值9；

（3）∵點Q是直線y=﹣x上的動點，

∴設點Q的坐標為（a，﹣a），

∵點P在拋物線上，且PQ∥y軸，

∴點P的坐標為（a， a2+a﹣4），

∴PQ=﹣a﹣（a2+a﹣4）=﹣a2﹣2a+4，

又∵OB=0﹣（﹣4）=4，

以點P，Q，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴|PQ|=OB，

即|﹣a2﹣2a+4|=4，

①﹣a2﹣2a+4=4時，整理得，a2+4a=0，

解得a=0（舍去）或a=﹣4，

﹣a=4，

所以點Q坐標為（﹣4，4），

②﹣a2﹣2a+4=﹣4時，整理得，a2+4a﹣16=0，

解得a=﹣2±2，

所以點Q的坐標為（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2），

綜上所述，Q坐標為（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）時，使點P，Q，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形．