Question

如圖，矩形ABCD中，AB=8，點E是AD上的一點，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連結EF交CD于點G．若G是CD的中點，則BC的長是　　．

Answer 1

7【考點】全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質；勾股定理；矩形的性質．

【專題】幾何圖形問題．

【分析】根據線段中點的定義可得CG=DG，然后利用“角邊角”證明△DEG和△CFG全等，根據全等三角形對應邊相等可得DE=CF，EG=FG，設DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據矩形的對邊相等可得BC=AD．

【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中點，AB=8，

∴CG=DG=×8=4，

在△DEG和△CFG中，

，

∴△DEG≌△CFG（ASA），

∴DE=CF，EG=FG，

設DE=x，

則BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，

在Rt△DEG中，EG==，

∴EF=2，

∵FH垂直平分BE，

∴BF=EF，

∴4+2x=2，

解得x=3，

∴AD=AE+DE=4+3=7，

∴BC=AD=7．

故答案為：7．

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的性質，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，勾股定理，熟記各性質并利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．