Question

【題目】如圖，在ABCD中，M、N分別是AD，BC的中點，∠AND=90°，連接CM交DN于點O．

（1）求證：△ABN≌△CDM；

（2）過點C作CE⊥MN于點E，交DN于點P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2．

【解析】

試題分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N分別是AD，BC的中點，即可利用SAS證得△ABN≌△CDM；

（2）易求得∠MND=∠CND=∠2=30°，然后由含30°的直角三角形的性質求解即可求得答案．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，

∵M、N分別是AD，BC的中點，

∴BN=DM，

∵在△ABN和△CDM中，

，

∴△ABN≌△CDM（SAS）；

（2）解：∵M是AD的中點，∠AND=90°，

∴MN=MD=AD，

∴∠1=∠MND，

∵AD∥BC，

∴∠1=∠CND，

∵∠1=∠2，

∴∠MND=∠CND=∠2，

∴PN=PC，

∵CE⊥MN，

∴∠CEN=90°，

∠END+∠CNP+∠2=180°﹣∠CEN=90°

又∵∠END=∠CNP=∠2

∴∠2=∠PNE=30°，

∵PE=1，

∴PN=2PE=2，

∴CE=PC+PE=3，

∴CN==2，

∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，

∴△CNM是等邊三角形，

∵△ABN≌△CDM，

∴AN=CM=2．