Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，D點從BC的中點到C點運動，點E在AD上，以E為圓心的⊙E分別與AB、BC相切，則⊙E的半徑R的取值范圍為（　　）

A.≤R≤
B.≤R≤
C.≤R≤2
D.1≤R≤

Answer 1

【答案】B
【解析】解：當點E在AD上，AD為△ABC的中線，如圖1，作EH⊥BC于H，EF⊥AB于F，
∵以E為圓心的⊙E分別與AB、BC相切，
∴EH=EF=R，
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC==4，
∵點D為BC的中點，
∴BD=CD=2，
在Rt△ADC中，AD== ，
∵EH∥AC，
∴△DEH∽△DAC，
∴== ， 即== ，
∴DE=R，DH=R，
∴AE=AD﹣DE=﹣R，BH=BD+DH=2+R，
∵以E為圓心的⊙E分別與AB、BC相切，
∴BF=BH=2+R
∴AF=AB﹣BF=3﹣R，
在Rt△AEF中，∵EF2+AF2=AE2 ，
∴R2+（3﹣R）2=（﹣R）2 ， 解得R=；
當點D運動到點C的位置，如圖2，作EF⊥AB于F，
∵以E為圓心的⊙E分別與AB、BC相切，
∴EC=EF=R，
∴AE=AC﹣EC=3﹣R，
∵∠FAE=∠CAB，
∴Rt△AFE∽Rt△ACB，
∴= ， 即= ， 解得R= ，
∴當D點從BC的中點到C點運動，點E在AD上，以E為圓心的⊙E分別與AB、BC相切，則⊙E的半徑R的取值范圍為≤R≤ ．
故選B．


【考點精析】掌握切線的性質定理是解答本題的根本，需要知道切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．