Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在BC邊上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足為E，求證：BC=2AE．

小明經探究發現，過點A作AF⊥BC，垂足為F，得到∠AFB=∠BEA，從而可證△ABF≌△BAE（如圖2），使問題得到解決．

（1）根據閱讀材料回答：△ABF與△BAE全等的條件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一個）

參考小明思考問題的方法，解答下列問題：

（2）如圖3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點，E為DC的中點，點F在AC的延長線上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的長；

（3）如圖4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點D、E分別在AB、AC邊上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）AAS；（2）4；（3）=．

【解析】

試題分析：（1）作AF⊥BC，判斷出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF=AE，即可；

（2）先求出tan∠DAE=，再由tan∠F=tan∠DAE，求出CG，最后用△DCG∽△ACE求出AC；

（3）構造含30°角的直角三角形，設出DG，在Rt△ABH，Rt△ADN，Rt△ABH中分別用a，k表示出AB=2a（k+1），BH=a（k+1），BC=2BH=a（k+1），CG=a（2k+1），DN=ka，最后用△NDE∽△GDC，求出AE，EC即可．

試題解析：（1）如圖2，作AF⊥BC，∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，在△ABF和△BAE中，∵∠AFB=∠BEA，∠DAB=∠ABD，AB=AB，∴△ABF≌△BAE（AAS），∴BF=AE．∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=BC，∴BC=2AE，故答案為：AAS．

（2）如圖3，連接AD，作CG⊥AF，在Rt△ABC中，AB=AC，點D是BC中點，∴AD=CD，∵點E是DC中點，∴DE=CD=AD，∴tan∠DAE==，∵AB=AC，∠BAC=90°，點D為BC中點，∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，∵∠CDF=∠EAC，∴∠F+∠EAC=45°，∵∠DAE+∠EAC=45°，∴∠F=∠DAE，∴tan∠F=tan∠DAE=，∴，∴CG=×2=1，∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，∴∠DCG=45°，∵∠CDF=∠EAC，∴△DCG∽△ACE，∴，∵CD=AC，CE=CD=AC，∴，∴AC=4；∴AB=4；

（3）如圖4，過點D作DG⊥BC，設DG=a，在Rt△BGD中，∠B=30°，∴BD=2a，BG=a，∵AD=kDB，∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），過點A作AH⊥BC，在Rt△ABH中，∠B=30°，∴BH=a（k+1），∵AB=AC，AH⊥BC，∴BC=2BH=a（k+1），∴CG=BC﹣BG=a（2k+1），過D作DN⊥AC交CA延長線與N，∵∠BAC=120°，∴∠DAN=60°，∴∠ADN=30°，∴AN=ka，DN=ka，∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，∴△NDE∽△GDC，∴，∴，∴NE=3ak（2k+1），∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a（k+1）﹣2ak（3k+1）=，∴==．