Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，，且滿足式子.

（1）求出的值；

（2）①在軸的正半軸上存在一點，使的面積等于的面積的一半，求出點的坐標；

②在坐標軸的其它位置是否存在點，使的面積等于的面積的一半仍然成立，若存在，直接寫出其他符合條件的點的坐標；

（3）如圖2，過點作軸交軸于點，點為線段延長線上一動點，連接，平分，，當點運動時，求證：

Answer 1

【答案】（1）m=-2，n=4；（2）①M的坐標為（3，0）；②（-3，0）或（0，6）或（0，-6）； （3）見解析

【解析】

（1）根據非負數的性質列出方程組，解方程組即可；
（2）①根據三角形的面積公式計算即可；
②分點M在x、y軸上兩種情況計算；
（3）根據角平分線的定義、垂直的定義得到∠POF=∠BOF，設∠POF=∠BOF=x，∠DOE=y，結合圖形得到x=y，得到答案．

解：（1）由題意得，，

解得m=-2，n=4；

（2）①設點M的坐標的坐標為（x，0），

△ABC的面積= ×6×2=6，

由題意得，×x×2=×6，

解得，x=3，

△COM的面積等于△ABC的面積的一半時，點M的坐標為（3，0）；

②當點M在x軸上時，由①得，點M的坐標為（3，0）或（-3，0），
當點M在y軸上時，設點M的坐標的坐標為（0，y），
由題意得，×|y|×1=×6，
解得，y=±6，
綜上所述，符合條件的點M的其他坐標為（-3，0）或（0，6）或（0，-6）；

（3）∵OE平分∠AOP，
∴∠EOP=∠AOE，
∵OF⊥OE，
∴∠EOP+∠POF=90°，∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠POF=∠BOF，
設∠POF=∠BOF=x，∠DOE=y，
∵CD⊥y軸，
∴CD∥x軸，
∴∠OPD=∠POB=2x，
則∠POD=90°-2x，
∵∠EOF=90°，
∴y+90°-2x+x=90°，
解得，x=y，
∴∠OPD=2∠DOE.