Question

【題目】Rt△ABC中，∠C=90°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．

（1）若點P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=50°，則∠1+∠2= °；

（2）若點P在邊AB上運動，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關系？說明理由．

（3）若點P在Rt△ABC斜邊BA的延長線上運動（CE＜CD），則∠α、∠1、∠2之間有何關系？猜想并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）140°；（2）證明見解析.（3）∠2-∠1=90°+∠α或∠2=∠1+90°或∠1-∠2=∠α-90°．

【解析】

試題分析：（1）連接PC，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；

（2）方法與（1）相同；

（3）根據點P的位置，分D、E、P三點共線前、后和三點共線時三種情況，利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和討論求解．

試題解析：（1）如圖，連接PC，

由三角形的外角性質，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，

∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，

∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，

∴∠1+∠2=50°+90°=140°，

（2）連接PC，

由三角形的外角性質，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，

∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，

∵∠C=90°，∠DPE=∠α，

∴∠1+∠2=90°+∠α；

（3）如圖1，由三角形的外角性質，∠2=∠C+∠1+∠α，

∴∠2-∠1=90°+∠α；

如圖2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；

如圖3，∠2=∠1-∠α+∠C，

∴∠1-∠2=∠α-90°．