Question

【題目】如圖，ABCD中，AB=2cm，AC=5cm，SABCD=8cm2，E點從B點出發，以1cm每秒的速度，在AB延長線上向右運動，同時，點F從D點出發，以同樣的速度在CD延長線上向左運動，運動時間為t秒．

（1）在運動過程中，四邊形AECF的形狀是____；

（2）t＝____時，四邊形AECF是矩形；

（3）求當t等于多少時，四邊形AECF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）四邊形AECF是平行四邊形；理由見解析；（2）t=1；（3）t=

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得出AB=CD=2cm，AB∥CD，由已知條件得出CF=AE，即可得出四邊形AECF是平行四邊形；

（2）若四邊形AECF是矩形，則∠AFC=90°，得出AF⊥CD，由平行四邊形的面積得出AF=4cm，在Rt△ACF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

（3）當AE=CE時，四邊形AECF是菱形．過C作CG⊥BE于G，則CG=4cm，由勾股定理求出AG，得出GE，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解：（1）四邊形AECF是平行四邊形；理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD=2cm，AB∥CD，

∴CF∥AE，

∵DF=BE，

∴CF=AE，

∴四邊形AECF是平行四邊形；

故答案為：平行四邊形；

（2）t=1時，四邊形AECF是矩形；理由如下：

若四邊形AECF是矩形，

∴∠AFC=90°，

∴AF⊥CD，

∵SABCD=CDAF=8cm2，

∴AF=4cm，

在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2，

即42+（t+2）2=52，

解得：t=1，或t=-5（舍去），

∴t=1；故答案為：1；

（3）依題意得：AE平行且等于CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

故AE=CE時，四邊形AECF是菱形．

又∵BE=tcm，

∴AE=CE=t+2（cm），

過C作CG⊥BE于G，如圖所示：

則CG=4cm

AG==3（cm），

∴GE=t+2-3=t-1（cm），

在△CGE中，由勾股定理得：CG2+GE2=CE2=AE2，

即42+（t-1）2=（t+2）2，

解得：t=，

即t=s時，四邊形AECF是菱形．