Question

閱讀下面材料：
在學習小組活動中，小明探究了下面問題：菱形紙片ABCD的邊長為2，折疊菱形紙片，將B、D兩點重合在對角線BD上的同一點處，折痕分別為EF、GH．當重合點在對角線BD上移動時，六邊形AEFCHG的周長的變化情況是怎樣的？
小明發現：若∠ABC=60°，
①如圖1，當重合點在菱形的對稱中心O處時，六邊形AEFCHG的周長為_________；
②如圖2，當重合點在對角線BD上移動時，六邊形AEFCHG的周長_________（填“改變”或“不變”）.
請幫助小明解決下面問題：
如果菱形紙片ABCD邊長仍為2，改變∠ABC的大小，折痕EF的長為m．
（1）如圖3，若∠ABC=120°，則六邊形AEFCHG的周長為_________；
（2）如圖4，若∠ABC的大小為，則六邊形AEFCHG的周長可表示為________．

Answer 1

①6；②不變；（1）；（2）．

試題分析：①根據折疊方法得到六邊形AEFCHG是邊長為2的正六邊形，從而提出結論.
②根據相似三角形的判定和性質可得結論.
（1）當重合點在對角線BD上移動時，六邊形AEFCHG的周長不變，與重合點在菱形的對稱中心O處時相同，從而解三角形可得結論.
（2）同（1）.
試題解析：①根據折疊方法得到六邊形AEFCHG是邊長為2的正六邊形，從而提出結論.
②根據相似三角形的判定和性質可知當重合點在對角線BD上移動時，六邊形AEFCHG的周長不變.
（1）由①②知，當重合點在對角線BD上移動時，六邊形AEFCHG的周長不變，與重合點在菱形的對稱中心O處時相同，故作出圖形如圖，可得AE=AH=CF=CG=1，EF=HG=，所以六邊形AEFCHG的周長為.

（2）同（1），可得AE=AH=CF=CG=1，EF=HG=，所以六邊形AEFCHG的周長為.