Question

【題目】二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為－1，3．與y軸負半軸交于點C，在下面五個結論中：①2a－b＝0；②a＋b＋c＞0；③c＝－3a；④只有當a＝ 時，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB為等腰三角形的a值可以有三個．其中正確的結論是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

先根據圖象與x軸的交點A，B的橫坐標分別為-1，3確定對稱軸由此可判斷①；由x=1時y的值可判斷②；由A，B的橫坐標分別為-1，3可設交點式，由此可判斷③；由△ABD是等腰直角三角形可求出D點坐標，于是可求出a值，據此可判斷④；分AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC三種情況，分別求出a值，由此可判斷⑤．

如圖，

① 由題意知對稱軸x=,

∴2a=-b, 即2a+b=0,

∵b≠0，

得2a-b≠0，

故①錯誤；

② ∵a>0, 拋物線與x軸的交點的橫坐標為-1,3，

∴當-1<x<3時，y<0,

∴當x=1時，y=a+b+c<0，

故②錯誤；

③令y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a, 和原函數比較系數即得c＝－3a，

故③正確；

④ 作DE⊥AB于E，

∵△ADB為等腰直角三角形．
∴DE=AD=BD= =2,

∴點D為（1，-2）
當x=1時，y= a+b+c=a-2a-3a=-4a；
∴-4a=-2

∴a=,

∴只有a=時,三角形ABD為等腰直角三角形.
故④正確；

⑤要使△ACB為等腰三角形，則有AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC三種情況，

當AB=BC=4時，

∵AO=1，△BOC為直角三角形，

又∵OC的長即為|c|，

∴c2=169=7，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c= ，

與2a+b=0、ab+c=0聯(lián)立組成方程組，解得a=；

同理當AB=AC=4時，

∵AO=1，△AOC為直角三角形，

∴c2=161=15，

∵由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，

∴c= ，

再與2a+b=0、ab+c=0聯(lián)立組成方程組, 解得a=；

同理當AC=BC時在△AOC中,AC2=1+c2 ， 在△BOC中，BC2=c2+9，

∵AC=BC，

∴1+c2=c2+9，

此方程無解，

可知滿足條件只有兩個a值，

故⑤錯誤.

綜上，正確的有2項.

故答案為：B.