Question

【題目】已知：在中，，，對角線，相交于點.點是線段上一動點（不與、重合），連接，以為邊在的右側作，且，.

（1）如圖①，若點落在線段上，則線段與線段的數量關系是______；

（2）如圖②，若點不在線段上，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）AE=BE；（2）成立，理由見解析

【解析】

（1）先根據題意判斷是菱形，再利用菱形的性質得出∠ABO=∠ADO=30°，AC⊥BD，即可求出∠FAD=30°即可得出結論；
（2）先判斷出△ACD和△AEF是等邊三角形，進而得出∠CAE=∠DAF，即可判斷出△ACE≌△ADF，即可得出結論.

(1)如圖,連接AF，

∵，且，

∴四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=30°，
∴∠OAE=∠OAF=30°，
∴∠DAF=30°=∠ADO，
∴AF=FD，
∵AF=EF，
∴EF=FD；
∵∠AEF=60°，
∴∠BAE=30°=∠ABO，
∴AE=BE.
(2)成立，如圖，

連接CE，AF，
∵四邊形ABCD是菱形，四邊形AEFG是菱形，
∴AD=CD,AE=EF,BD垂直平分AC,∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ADC=∠AEF=60°，
∴△ACD和△AEF是等邊三角形，
∴AC=AD,AE=AF=EF,∠CAD=∠EAF=60°，
∴∠CAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中, ，
△ACE≌△ADF（SAS），
∴EC=DF，
∵BD垂直平分AC，
∴EC=AE，
∴DF=AE=EF