Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，n）在邊AB上，反比例函數 （k≠0）在第一象限內的圖象經過點D、E，且tan∠BOA= ．

（1）求邊AB的長；
（2）求反比例函數的解析式和n的值；
（3）若反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點E（4，n）在邊AB上，

∴OA=4，

在Rt△AOB中，∵tan∠BOA= ，

∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2

（2）

解：根據（1），可得點B的坐標為（4，2），

∵點D為OB的中點，

∴點D（2，1）

∴ =1，

解得k=2，

∴反比例函數解析式為y= ，

又∵點E（4，n）在反比例函數圖象上，

∴ =n，

解得n=

（3）

解：如圖，設點F（a，2），

∵反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，

∴ =2，

解得a=1，

∴CF=1，

連接FG，設OG=t，則OG=FG=t，CG=2﹣t，

在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，

即t2=（2﹣t）2+12，

解得t= ，

∴OG=t= ．

【解析】（1）根據點E的縱坐標判斷出OA=4，再根據tan∠BOA= 即可求出AB的長度；（2）根據（1）求出點B的坐標，再根據點D是OB的中點求出點D的坐標，然后利用待定系數法求函數解析式求出反比例函數解析式，再把點E的坐標代入進行計算即可求出n的值；（3）先利用反比例函數解析式求出點F的坐標，從而得到CF的長度，連接FG，根據折疊的性質可得FG=OG，然后用OG表示出CG的長度，再利用勾股定理列式計算即可求出OG的長度．
【考點精析】本題主要考查了反比例函數的性質的相關知識點，需要掌握性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．