Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形，BD是AC上的高線．作AE⊥AB于點A，交BD的延長線于點E．取BE的中點M，連結AM．

（1）求證：△AEM是等邊三角形；

（2）若AE＝2，求△AEM的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可得∠ABD＝30°，由直角三角形的性質可得AM＝EM，可得△AEM是等邊三角形；

（2）由直角三角形的性質可求AD的長，即可求解．

證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，BD是AC上的高線，

∴∠ABD＝30°，且AE⊥AB，

∴∠AEB＝60°，

∵點M是BE中點，∠EAB＝90°，

∴AM＝EM，且∠AEB＝60°，

∴△AEM是等邊三角形；

（2）∵△AEM是等邊三角形，AC⊥BD，

∴∠EAD＝∠MAD＝30°，DE＝DN，AE＝EM＝2，

∴DE＝AE＝1，AD＝DE＝，

∴△AEM的面積＝×EM×AD＝×2×＝．