Question

【題目】在圖1至圖3中，直線MN與線段AB相交于點O，∠1=∠2=45°．

（1）如圖1，若AO=OB，請寫出AO與BD的數量關系和位置關系；

（2）將圖1中的MN繞點O順時針旋轉得到圖2，其中AO=OB．求證：AC=BD，AC⊥BD；

（3）將圖2中的OB拉長為AO的k倍得到圖3，求的值．

Answer 1

【答案】（1）AO=BD，AO⊥BD；（2）答案見解析；（3）k．

【解析】試題分析：（1）根據等腰直角三角形的判定和性質得出；

（2）過點B作BE∥CA交DO于E，通過證明△AOC≌△BOE，得出AC=BE，∠ACO=∠BEO，從而∠DEB=∠2，則BE=BD，等量代換得出AC=BD．延長AC交DB的延長線于F，根據平行線的性質及已知得出AC⊥BD；

（3）過點B作BE∥CA交DO于E，通過證明△BOE∽△AOC，根據相似三角形的性質得出的值．

試題解析：（1）解：AO=BD，AO⊥BD；

（2）證明：如圖2，過點B作BE∥CA交DO于E，則∠ACO=∠BEO．

又∵AO=OB，∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE，∴AC=BE．

又∵∠1=45°，∴∠ACO=∠BEO=135°，∴∠DEB=45°．

∵∠2=45°，∴BE=BD，∠EBD=90°，∴AC=BD．

延長AC交DB的延長線于F，如圖．

∵BE∥AC，∴∠AFD=90°，∴AC⊥BD．

（3）解：如圖3，過點B作BE∥CA交DO于E，則∠BEO=∠ACO．

又∵∠BOE=∠AOC，∴△BOE∽△AOC，∴．

又∵OB=kAO，由（2）的方法易得BE=BD，∴．

答：的值為k．