Question

【題目】在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D為AC的中點．
（1）如圖1，E為線段DC上任意一點，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接CF，過點F作FH⊥FC，交直線AB于點H．判斷FH與FC的數量關系并加以證明；

（2）如圖2，若E為線段DC的延長線上任意一點，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結論是否發生改變，直接寫出你的結論，不必證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：FH與FC的數量關系是：FH=FC．

證明如下：延長DF交AB于點G，

由題意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，

∴DG∥CB，

∵點D為AC的中點，

∴點G為AB的中點，且 ，

∴DG為△ABC的中位線，

∴ ．

∵AC=BC，

∴DC=DG，

∴DC﹣DE=DG﹣DF，

即EC=FG．

∵∠EDF=90°，FH⊥FC，

∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，

∴∠1=∠2．

∵△DEF與△ADG都是等腰直角三角形，

∴∠DEF=∠DGA=45°，

∴∠CEF=∠FGH=135°，

∴△CEF≌△FGH，

∴CF=FH

（2）解：FH與FC仍然相等．

理由：由題意可得出：DF=DE，

∴∠DFE=∠DEF=45°，

∵AC=BC，

∴∠A=∠CBA=45°，

∵DF∥BC，

∴∠CBA=∠FGB=45°，

∴∠FGH=∠CEF=45°，

∵點D為AC的中點，DF∥BC，

∴DG= BC，DC= AC，

∴DG=DC，

∴EC=GF，

∵∠DFC=∠FCB，

∴∠GFH=∠FCE，

在△FCE和△HFG中

，

∴△FCE≌△HFG（ASA），

∴HF=FC

【解析】（1）延長DF交AB于點G，根據三角形中位線的判定得出點G為AB的中點，根據中位線的性質及已知條件AC=BC，得出DC=DG，從而EC=FG，易證∠1=∠2=90°﹣∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS證出△CEF≌△FGH．∴CF=FH．（2）通過證明△CEF≌△FGH（ASA）得出．