Question

【題目】我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數量關系呢？
（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數量關系？為什么？
（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，若∠1+∠2=230°，則剪掉的∠C=；
（3）小明聯想到了曾經解決的一個問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數量關系？請直接寫出答案 ．
（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數量關系？為什么？（若需要利用上面的結論說明，可直接使用，不需說明理由）

Answer 1

【答案】
（1）解：∠DBC+∠ECB

=180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB

=360°﹣（∠ABC+∠ACB）

=360°﹣（180°﹣∠A）

=180°+∠A；

（2）50°
（3）∠P=90°﹣ ∠A
（4）解：延長BA、CD于Q，

則∠P=90°﹣ ∠Q，

∴∠Q=180°﹣2∠P，

∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，

=180°+180°﹣2∠P，

=360°﹣2∠P．

【解析】（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C， ∴130°+∠2=180°+∠C，
∴∠C=50°；
3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠DBC+∠ECB）= （180°+∠A），
在△PBC中，∠P=180°﹣ （180°+∠A）=90°﹣ ∠A；
即∠P=90°﹣ ∠A；
所以答案是：50°，∠P=90°﹣ ∠A；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的內角和外角的相關知識，掌握三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角，以及對三角形的外角的理解，了解三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．